Question

X^4-5x^3+8x^2-5x+1=0

Answer 1

$x^4+1-5x^3-5x+8x^2=0\\ \\ x^4+2x^2+1-2x^2-5x(x^2+1)+8x^2=0\\ \\ (x^2+1)^2-5x(x^2+1)+6x^2=0|:x^2\\ \\ ((x^2+1):x)^2-5(x^2+1):x+6=0$

Пусть $(x^2+1):x=t$, тогда получаем

$t^2-5t+6=0$
По т. Виета:
$t_1=2;\\ t_2=3$


Обратная замена

$(x^2+1):x=2|\cdot x\\ x^2+1=2x\\ x^2-2x+1=0\\ (x-1)^2=0\\ x_1=1$


$(x^2+1):x=3|\cdot x\\ \\ x^2+1=3x\\ x^2-3x+1=0\\ D=b^2-4ac=9-4=5\\ \\ x_2_,_3= \dfrac{3\pm \sqrt{5} }{2}$



Ответ: $\dfrac{3\pm \sqrt{5} }{2} ;1.$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать методы факторизации или методы численного решения, такие как метод Ньютона или метод половинного деления. Давайте рассмотрим каждый из них.

1. Метод факторизации: Попытаемся разложить данное уравнение на множители. Заметим, что все коэффициенты уравнения являются целыми числами, поэтому возможные множители будут иметь вид (x-a), где а - целое число, являющееся делителем свободного члена (в данном случае 1).

x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0

Попробуем подставить различные значения для a, начиная с -1 и заканчивая 1:

При a = 1: (1)^4 - 5(1)^3 + 8(1)^2 - 5(1) + 1 = 0 1 - 5 + 8 - 5 + 1 = 0 0 = 0

Мы получили равенство, значит (x-1) является одним из множителей.

Теперь разделим исходное уравнение на (x-1) с помощью деления с остатком:

(x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1) / (x-1) = x^3 - 4x^2 + 4x - 1

Полученное уравнение x^3 - 4x^2 + 4x - 1 также можно попытаться разложить на множители, продолжая процесс факторизации.

2. Метод численного решения: Если нам не удастся разложить уравнение на множители, мы можем воспользоваться численными методами для приближенного нахождения корней уравнения.

Один из таких методов - метод Ньютона. Он основан на последовательном приближенном определении корней путем линейной аппроксимации функции.

Для применения метода Ньютона, нам необходимо выбрать начальное приближение для корня уравнения. Давайте выберем x = 1. Затем мы будем последовательно уточнять это приближение, используя следующую формулу:

x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

где x_n - текущее приближение для корня, f(x_n) - значение функции в точке x_n, f'(x_n) - значение производной функции в точке x_n.

Применяя эту формулу несколько раз, мы можем приблизиться к корню уравнения.

Производная функции f(x) = x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 равна f'(x) = 4x^3 - 15x^2 + 16x - 5.

Применяя метод Ньютона, мы получим следующую последовательность приближений для корня:

x_1 = 1 - (1^4 - 5(1)^3 + 8(1)^2 - 5(1) + 1) / (4(1)^3 - 15(1)^2 + 16(1) - 5) = 1 - (1 - 5 + 8 - 5 + 1) / (4 - 15 + 16 - 5) = 1 - 0 / 0 = 1

Мы получили, что x_1 = 1.

Продолжая этот процесс, мы можем приблизиться к другим корням уравнения.

Таким образом, решение уравнения x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0 может быть найдено путем факторизации или численного метода, например, метода Ньютона.