Question

Х^2+5x+2/x^2+5x+4 + x^2+5x+3/x^2+5x+9 = 1

Answer 1

$\mathtt{\frac{x^2+5x+2}{x^2+5x+4}+\frac{x^2+5x+3}{x^2+5x+9}=1}$

положим, что $\mathtt{x^2+5x+4=a}$, где $\mathtt{a\neq0}$ (и, следовательно, $\mathtt{x\neq-1;-4}$), тогда наше уравнение примет вид $\mathtt{\frac{a-2}{a}+\frac{a-1}{a+5}=1}$

приводим к общему знаменателю дроби и решаем данное уравнение относительно нашей искуственно-введённой переменной: 

$\mathtt{\frac{(a-2)(a+5)+a(a-1)}{a(a+5)}=1;~a^2+3a-10+a^2-a=a^2+5a;}\\\mathtt{a^2-3a-10=0\ \textless \ =\ \textgreater \ (a+2)(a-5)=0~\to\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{a=-2}\\\mathtt{a=5}\end{array}\right}$

итак, производим обратную замену: 

$\mathtt{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x^2+5x+4=-2}\\\mathtt{x^2+5x+4=5}\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x^2+5x+6=0}\\\mathtt{x^2+5x-1=0}\end{array}\right}\\\\\mathtt{1.~x^2+5x+6=0\ \textless \ =\ \textgreater \ (x+3)(x+2)=0\to\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x_1=-3}\\\mathtt{x_2=-2}\end{array}\right}\\\\\mathtt{2.~x^2+5x-1=0;~D=5^2-4*(-1)=25+4=29;}\\\\\mathtt{x_{n,n+1}=\frac{-5б\sqrt{29}}{2}\to\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x_3=\frac{-5-\sqrt{29}}{2}}\\\mathtt{x_4=\frac{-5+\sqrt{29}}{2}}\end{array}\right}$

Ответ: $\mathtt{x=\frac{\sqrt{29}+5}{-2};-3;-2;\frac{\sqrt{29}-5}{2}}$ (корни представлены в порядке возрастания)

Answer 2

Чтобы решить это уравнение, мы можем объединить оба дробных выражения в одну дробь, используя общий знаменатель. Затем мы можем умножить оба выражения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей.

Исходное уравнение: (Х^2 + 5x + 2) / (x^2 + 5x + 4) + (x^2 + 5x + 3) / (x^2 + 5x + 9) = 1

Сначала найдем общий знаменатель для обоих дробей в левой части уравнения. Заметим, что оба знаменателя являются квадратными трехчленами и не могут быть разложены на множители. Поэтому мы можем перемножить знаменатели двух дробей, чтобы получить общий знаменатель.

Общий знаменатель: (x^2 + 5x + 4) * (x^2 + 5x + 9)

Теперь мы можем умножить каждое слагаемое в левой части уравнения на общий знаменатель:

(Х^2 + 5x + 2) * (x^2 + 5x + 9) / (x^2 + 5x + 4) + (x^2 + 5x + 3) * (x^2 + 5x + 4) / (x^2 + 5x + 9) = 1

Раскроем скобки и упростим выражение:

(x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 5x^3 + 25x^2 + 45x + 2x^2 + 10x + 18) / (x^2 + 5x + 4) + (x^4 + 5x^3 + 4x^2 + 5x^3 + 25x^2 + 12x + 3x^2 + 15x + 12) / (x^2 + 5x + 9) = 1

(x^4 + 10x^3 + 36x^2 + 55x + 18) / (x^2 + 5x + 4) + (x^4 + 10x^3 + 28x^2 + 27x + 12) / (x^2 + 5x + 9) = 1

Теперь мы можем сложить числители вместе, так как у них общий знаменатель:

2x^4 + 64x^3 + 64x^2 + 82x + 30 / (x^2 + 5x + 4) + (x^2 + 5x + 9) = 1

2x^4 + 64x^3 + 64x^2 + 82x + 30 + (x^2 + 5x + 9) * (x^2 + 5x + 4) = x^2 + 5x + 4

Раскроем скобки:

2x^4 + 64x^3 + 64x^2 + 82x + 30 + x^4 + 10x^3 + 9x^2 + 5x^3 + 50x^2 + 45x + 4x^2 + 20x + 36 = x^2 + 5x + 4

Соберем все слагаемые вместе и упростим:

3x^4 + 79x^3 + 127x^2 + 147x + 66 = x^2 + 5x + 4

Перенесем все термины в одну сторону уравнения:

3x^4 + 79x^3 + 126x^2 + 142x + 62 = 0

Теперь это уравнение является полиномиальным уравнением четвертой степени. Решение полиномиальных уравнений четвертой степени может быть сложным и требует использования специальных методов, таких как метод Феррари или метод Руффини.

Если вы хотите узнать конкретное решение этого уравнения, пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию или уточните ваш вопрос.