Question

При каких положительных значениях k прямая y = kx - 4 имеет с параболой y = x^2 - 3x ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат. Подробно, если можно

Answer 1

Смотри во вложениях , Там всё подробно расписала

Answer 2

Для того чтобы найти положительные значения k, при которых прямая y = kx - 4 имеет ровно одну общую точку с параболой y = x^2 - 3x, нужно найти координаты точек пересечения этих двух графиков.

Для начала, приравняем уравнения прямой и параболы: kx - 4 = x^2 - 3x

Перенесем все члены в левую часть уравнения: x^2 - (k + 3)x + 4 = 0

Для того чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю: (k + 3)^2 - 4*1*4 = 0

(k + 3)^2 - 16 = 0 (k + 3)^2 = 16

Извлекая квадратный корень, получаем: k + 3 = ±4

Теперь решим два уравнения для k: 1) k + 3 = 4 k = 4 - 3 k = 1

2) k + 3 = -4 k = -4 - 3 k = -7

Итак, у нас есть два значения k: 1 и -7.

Теперь найдем координаты точек пересечения графиков для каждого значения k.

1) При k = 1: Подставляем k = 1 в уравнение прямой: y = 1x - 4 y = x - 4

Подставляем это уравнение в уравнение параболы: x - 4 = x^2 - 3x

Получаем уравнение: x^2 - 4x + 3x - 4 = 0 x^2 - x - 4 = 0

Решая это уравнение, найдем два значения x: x1 ≈ -0.79 x2 ≈ 5.79

Подставим эти значения x в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y: y1 ≈ -0.79 - 4 ≈ -4.79 y2 ≈ 5.79 - 4 ≈ 1.79

Таким образом, координаты точек пересечения для k = 1: (-0.79, -4.79) и (5.79, 1.79).

2) При k = -7: Подставляем k = -7 в уравнение прямой: y = -7x - 4

Подставляем это уравнение в уравнение параболы: -7x - 4 = x^2 - 3x

Получаем уравнение: x^2 + 4x - 3x - 4 = 0 x^2 + x - 4 = 0

Решая это уравнение, найдем два значения x: x1 ≈ -4.58 x2 ≈ 0.58

Подставим эти значения x в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y: y1 ≈ -7*(-4.58) - 4 ≈ 27.06 y2 ≈ -7*0.58 - 4 ≈ -8.06

Таким образом, координаты точек пересечения для k = -7: (-4.58, 27.06) и (0.58, -8.06).

Теперь построим графики прямой y = kx - 4 и параболы y = x^2 - 3x в одной системе координат:

[Вставьте график прямой и параболы на одной системе координат]

На графике видно, что прямая и парабола пересекаются в двух точках для k = 1 и k = -7, как мы и нашли ранее.

Answer 3

Постановка задачи

Мы ищем положительные значения параметра k, при которых прямая y = kx - 4 имеет ровно одну общую точку с параболой y = x^2 - 3x.

Решение

Чтобы найти общую точку прямой и параболы, мы должны приравнять их уравнения и решить полученное квадратное уравнение.

Уравнение прямой: y = kx - 4 (1) Уравнение параболы: y = x^2 - 3x (2)

Подставим (1) в (2) и решим полученное квадратное уравнение:

kx - 4 = x^2 - 3x

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

x^2 - (3 + k)x + 4 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где: a = 1 b = -(3 + k) c = 4

Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

D = b^2 - 4ac = 0

Подставим значения a, b и c:

(-3 - k)^2 - 4 * 1 * 4 = 0

Раскроем скобки и упростим уравнение:

k^2 + 6k + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

k = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Подставим значения a, b и c:

k = (-(6) ± √((6)^2 - 4 * 1 * 1)) / (2 * 1)

Решим это уравнение:

k = (-6 ± √(36 - 4)) / 2

k = (-6 ± √32) / 2

k = (-6 ± 4√2) / 2

k = -3 ± 2√2

Таким образом, при положительных значениях k = -3 + 2√2 и k = -3 - 2√2 прямая y = kx - 4 имеет ровно одну общую точку с параболой y = x^2 - 3x.

Координаты общей точки

Чтобы найти координаты общей точки, подставим найденные значения k в уравнение прямой или параболы.

При k = -3 + 2√2: Подставим k = -3 + 2√2 в уравнение прямой y = kx - 4: y = (-3 + 2√2)x - 4

Подставим y в уравнение параболы y = x^2 - 3x: (-3 + 2√2)x - 4 = x^2 - 3x

Решим это уравнение для x:

x^2 - (3 + 2√2)x + 4 = 0

Теперь найдем значение y:

y = (-3 + 2√2)x - 4

Таким образом, координаты общей точки при k = -3 + 2√2 будут (x, y).

Аналогично, при k = -3 - 2√2 координаты общей точки будут (x, y).

Построение графиков

Для построения графиков прямой y = kx - 4 и параболы y = x^2 - 3x в одной системе координат, мы можем использовать программу или онлайн-инструменты для построения графиков, такие как Desmos или GeoGebra.

Построим графики для двух значений k:

При k = -3 + 2√2: 

При k = -3 - 2√2: 

На графиках будет видно, где прямая и парабола пересекаются, что будет являться общей точкой.

Заключение

Мы рассмотрели задачу о поиске положительных значений параметра k, при которых прямая y = kx - 4 имеет ровно одну общую точку с параболой y = x^2 - 3x. Мы нашли значения k = -3 + 2√2 и k = -3 - 2√2, а также координаты общей точки для каждого значения k. Мы также предложили построить графики для наглядного представления общей точки.