Question

Четвертый и шестой член убывающей геометрической прогресси равные соответсвенно 3125 и 1/5 .Найдите пятый член этой прогресси

Answer 1

3125 = 5^5                1\5=5^-1            геом прогрессия представляет вид Kq где q знаменатель прогрессии       первый член будет k , второй kq   , третий kq^2
тогда четвертый Kq^3     а шестой Кq^5
разделим четвернтый на шестой
Kq^3\Kq^5=1\q^2             5^5\5^-1=5^6          1\q^2=5^6       q=1\5^3
пятый член равен kq^4   =3125\5^3=25

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения членов убывающей геометрической прогрессии. В убывающей геометрической прогрессии каждый последующий член меньше предыдущего.

Формула для нахождения n-го члена убывающей геометрической прогрессии: \[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \] где \( a_n \) - n-й член прогрессии, \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( r \) - знаменатель прогрессии, \( n \) - номер члена прогрессии.

Решение:

Дано: \( a_4 = 3125 \) (четвертый член прогрессии), \( a_6 = \frac{1}{5} \) (шестой член прогрессии).

Мы можем использовать уравнение для \( a_4 \) и \( a_6 \), чтобы найти первый член прогрессии (\( a_1 \)) и знаменатель прогрессии (\( r \)):

Для четвертого члена: \[ a_4 = a_1 \times r^{(4-1)} = a_1 \times r^3 = 3125 \]

Для шестого члена: \[ a_6 = a_1 \times r^{(6-1)} = a_1 \times r^5 = \frac{1}{5} \]

Теперь мы можем найти отношение между \( a_6 \) и \( a_4 \): \[ \frac{a_6}{a_4} = \frac{a_1 \times r^5}{a_1 \times r^3} = \frac{r^5}{r^3} = \frac{1}{5} \]

Это дает нам уравнение вида: \[ r^2 = \frac{1}{5} \] \[ r = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

Теперь, когда у нас есть значение \( r \), мы можем найти первый член прогрессии (\( a_1 \)) из уравнения для четвертого члена: \[ a_1 \times \frac{1}{\sqrt{5}}^3 = 3125 \] \[ a_1 \times \frac{1}{\sqrt{5}^3} = 3125 \] \[ a_1 \times \frac{1}{5\sqrt{5}} = 3125 \] \[ a_1 = 3125 \times 5\sqrt{5} \] \[ a_1 = 3125 \times 5 \times \sqrt{5} \] \[ a_1 = 15625 \times \sqrt{5} \]

Теперь, когда у нас есть значения \( a_1 \) и \( r \), мы можем найти пятый член прогрессии: \[ a_5 = a_1 \times r^{(5-1)} \] \[ a_5 = 15625 \times \sqrt{5} \times \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^4 \] \[ a_5 = 15625 \times \sqrt{5} \times \frac{1}{5} \] \[ a_5 = 3125 \times \sqrt{5} \]

Таким образом, пятый член этой убывающей геометрической прогрессии равен \( 3125 \times \sqrt{5} \).