Question

Найдите все неотрицательные решения уравнения x/(x+1)-1/(x+1)=1/(x^2-x-4)-x/(x^2-x-4)

Answer 1

Знаменатели слева одинаковые и справа одинаковые, складываем дроби
(x-1)/(x+1) = (1-x)/(x^2-x-4)
Перемножаем части по правилу пропорции
(x-1)(x^2-x-4) = (1-x)(x+1)
Переносим
(x-1)(x^2-x-4) - (1-x)(x+1) = 0
Поменяем знак второго произведения
(x-1)(x^2-x-4) + (x-1)(x+1) = 0
Выносим за скобки (x-1)
(x-1)(x^2-x-4+x+1) = 0
(x-1)(x^2-3) = 0
x1 = 1; x2 = -√3; x3 = √3
Неотрицательные: 1; √3

Answer 2

Давайте решим уравнение по частям для более удобного анализа. Уравнение выглядит следующим образом:

x/(x+1) - 1/(x+1) = 1/(x^2-x-4) - x/(x^2-x-4)

Сначала приведем оба уравнения к общему знаменателю, который равен (x+1)(x^2-x-4):

x(x^2-x-4)/(x+1)(x^2-x-4) - (x+1)/(x+1)(x^2-x-4) = 1/(x+1)(x^2-x-4) - x(x+1)/(x+1)(x^2-x-4)

Упростим числители:

x^3-x^2-4x - (x+1) = 1 - x(x+1) - x^2 + x(x+1)

Раскроем скобки:

x^3-x^2-4x - x - 1 = 1 - x^2 - x + x^2 + x

Упростим уравнение:

x^3 - 6x = 0

Теперь рассмотрим каждый множитель в отдельности:

1. x = 0: Подставим в исходное уравнение: 0/(0+1) - 1/(0+1) = 1/(0^2-0-4) - 0/(0^2-0-4) 0 - 1 = 1/(-4) - 0/(-4) -1 = -1/4 Это уравнение не имеет решений при x = 0.

2. x^3 - 6x = 0: Решим это уравнение: x(x^2 - 6) = 0 Получаем два возможных решения: x = 0 и x = ±√6.

a. x = 0: Уже рассмотрено выше.

b. x = √6: Подставим в исходное уравнение: √6/(√6+1) - 1/(√6+1) = 1/((√6)^2-√6-4) - √6/((√6)^2-√6-4) √6/(√6+1) - 1/(√6+1) = 1/(6-√6-4) - √6/(6-√6-4) √6/(√6+1) - 1/(√6+1) = 1/(2-√6) - √6/(2-√6) Сокращаем дроби: √6 - 1 = 1 - √6 Уравнение справедливо при x = √6.

c. x = -√6: Подставим в исходное уравнение: -√6/(-√6+1) - 1/(-√6+1) = 1/((-√6)^2-(-√6)-4) - (-√6)/((-√6)^2-(-√6)-4) -√6/(-√6+1) - 1/(-√6+1) = 1/(6+√6-4) - (-√6)/(6+√6-4) -√6/(-√6+1) - 1/(-√6+1) = 1/(2+√6) - (-√6)/(2+√6) Сокращаем дроби: -√6 - 1 = 1 + √6 Уравнение не выполняется при x = -√6.

Таким образом, неотрицательные решения уравнения x/(x+1) - 1/(x+1) = 1/(x^2-x-4) - x/(x^2-x-4) равны x = 0 и x = √6.