Question

Интеграл cos^3*5xdx помогите решить

Answer 1

$\int cos^35x\, dx=\int cos^25x\cdot cos5x\, dx=\int (1-sin^25x)cos5x\, dx=\\\\=[\, t=sin5x\; ,\; dt=5cos5x\, dx\, ]=\frac{1}{5}\cdot \int (1-t^2)dt=\\\\=\frac{1}{5}\cdot (t-\frac{t^3}{3})+C=\frac{sin5x}{5}-\frac{sin^35x}{15}+C$

Answer 2

Интеграл от cos^3(5x)dx можно решить с помощью метода замены переменной.

Для начала, мы можем использовать тригонометрическую формулу: cos^3(θ) = (1/4) * (3*cos(θ) + cos(3θ))

Теперь мы можем заменить 5x на θ: θ = 5x dθ = 5dx

Теперь мы можем переписать наш интеграл: ∫cos^3(5x)dx = (1/5) * ∫cos^3(θ)dθ = (1/5) * ∫(1/4)*(3*cos(θ) + cos(3θ))dθ = (3/20) * ∫cos(θ)dθ + (1/20) * ∫cos(3θ)dθ

Интеграл ∫cos(θ)dθ = sin(θ) + C И интеграл ∫cos(3θ)dθ = (1/3) * sin(3θ) + C

Теперь подставим обратно θ = 5x: = (3/20) * sin(5x) + (1/20) * (1/3) * sin(15x) + C = (3/20)sin(5x) + (1/60)sin(15x) + C

Таким образом, мы получаем окончательный ответ: ∫cos^3(5x)dx = (3/20)sin(5x) + (1/60)sin(15x) + C, где C - произвольная постоянная.