Question

Найти первую производную функции y=(3x+5)tg(2x-7)

Answer 1

y´=3tg(2x-7) + (3x+5)·2/Cos²(2x -7)

Answer 2

Для нахождения первой производной функции y=(3x+5)tg(2x-7) мы будем использовать правило производной произведения функций и правило производной тангенса.

Вычисление производной произведения функций

Правило производной произведения функций гласит, что производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию, плюс произведение первой функции на производную второй функции.

Давайте обозначим первую функцию как u(x) = 3x + 5 и вторую функцию как v(x) = tg(2x - 7). Тогда y = u(x) * v(x).

Нахождение производной функции u(x)

Производная функции u(x) = 3x + 5 будет равна 3, так как производная по x от функции x равна 1, а производная от константы равна 0.

Таким образом, u'(x) = 3.

Нахождение производной функции v(x)

Производная функции v(x) = tg(2x - 7) требует применения правила производной тангенса.

Правило производной тангенса гласит, что производная тангенса функции равна производной синуса функции, деленной на косинус функции.

Давайте обозначим функцию внутри тангенса как w(x) = 2x - 7. Тогда v(x) = tg(w(x)).

Нахождение производной функции w(x)

Производная функции w(x) = 2x - 7 будет равна 2, так как производная по x от функции 2x равна 2, а производная от константы равна 0.

Таким образом, w'(x) = 2.

Производная синуса и косинуса

Производная синуса функции равна косинусу функции, а производная косинуса функции равна минус синусу функции.

Таким образом, производная sin(w(x)) будет равна cos(w(x)), а производная cos(w(x)) будет равна -sin(w(x)).

Производная функции v(x)

Производная функции v(x) = tg(w(x)) будет равна произведению производной sin(w(x)) на косинус w(x), деленное на квадрат косинуса w(x). Известно, что tg(x) = sin(x) / cos(x).

Таким образом, v'(x) = (cos(w(x)) * 2) / (cos^2(w(x))) = 2cos(w(x)) / cos^2(w(x)).

Производная функции y(x)

Производная функции y(x) = u(x) * v(x) будет равна произведению производной функции u(x) на функцию v(x), плюс произведение функции u(x) на производную функции v(x).

Таким образом, y'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

Подставляя значения из предыдущих вычислений, получаем:

y'(x) = 3 * (3x + 5) * (2cos(2x - 7) / cos^2(2x - 7)) + (3x + 5) * 2cos(2x - 7) / cos^2(2x - 7).

Упрощение производной

Для упрощения этой производной можно объединить общие члены и упростить выражение.

y'(x) = (6cos(2x - 7) + 2(3x + 5)) * (3x + 5) / cos^2(2x - 7).

Таким образом, первая производная функции y=(3x+5)tg(2x-7) равна (6cos(2x - 7) + 2(3x + 5)) * (3x + 5) / cos^2(2x - 7).