Question

Log^2_0,5(x)-log_0,5(x)-2>=0

Answer 1

$log^2_{0.5} x-log_{0.5} x-2 \geq 0$

ОДЗ: 
$x\ \textgreater \ 0$
$x$ ∈ $(0;+$ ∞ $)$

Замена:
$log_{0.5} x=t$

$t^2-t-2 \geq 0$

$D=(-1)^2-4*1*(-2)=1+8=9$

$t_1= \frac{1+3}{2}=2$

$t_2= \frac{1-3}{2}=-1$
 
     +                  -                  +
-----------[-1]-------------[2]-------------
/////////////                  ///////////////

$t \leq -1$                       или      $t \geq 2$

$log_{0.5}x \leq -1$            или     $log_{0.5}x \geq 2$

$log_{0.5}x \leq log_{0.5}2$      или     $log_{0.5}x \geq log_{0.5}0.25$

$x \geq 2$                    или        $x \leq 0.25$

------------[0.25]-----------------[2]-----------------
///////////////                          /////////////////////

С учётом ОДЗ получаем 

Ответ:  $(0;0.25]$ ∪ $[2;+$ ∞ $)$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство подробнее.

Неравенство, которое вы представили, можно записать следующим образом:

log^2_0,5(x) - log_0,5(x) - 2 >= 0

Чтобы решить это неравенство, нам нужно преобразовать его в более удобную форму.

Давайте начнем с того, что заменим log_0,5(x) на переменную, скажем y. Тогда наше неравенство станет:

y^2 - y - 2 >= 0

Теперь давайте решим это квадратное неравенство.

Сначала найдем корни уравнения y^2 - y - 2 = 0. Мы можем представить его в виде произведения:

(y - 2)(y + 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для y: y = 2 и y = -1.

Теперь мы должны определить, в каких интервалах y^2 - y - 2 >= 0.

Для этого мы можем построить таблицу знаков, где проверяем значение выражения y^2 - y - 2 в каждом интервале:

y < -1 | -1 < y < 2 | y > 2 y^2 - y - 2 | + | - | +

Из таблицы знаков видно, что выражение y^2 - y - 2 >= 0, когда y находится вне интервала (-1, 2).

Теперь вернемся к нашей переменной x, которую мы определили как log_0,5(x).

Мы знаем, что log_0,5(x) = y. Поэтому наше неравенство log^2_0,5(x) - log_0,5(x) - 2 >= 0 будет выполняться, когда y находится вне интервала (-1, 2).

То есть, для решения исходного неравенства log^2_0,5(x) - log_0,5(x) - 2 >= 0, нужно найти интервалы x, для которых log_0,5(x) не принадлежит интервалу (-1, 2).

Я надеюсь, что это поможет вам разобраться с данным неравенством. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.