Question

Решить уравнение log1/7(x-4)+log1/7(x+2)+1

Answer 1

ОДЗ
x>4
x>-2
x∈(4;+∞)
$log_ \frac{1}{7}((x-4)(x+2))=1\\log_ \frac{1}{7}(x^2-2x-8)=1\\x^2-2x-8= \frac{1}{7}\\7x^2-14x-57=0\\ D_{1}=49+399=448\\x= \frac{7+8 \sqrt{7} }{7}\\x= \frac{7-8 \sqrt{7} }{7}$
ответом будет первый корень ,так как он и только он удовлетворяет ОДЗ

Answer 2

Давайте решим данное уравнение поэтапно.

Уравнение: log₁/₇(x-4) + log₁/₇(x+2) + 1 = 0

Шаг 1: Используем свойства логарифмов

Обратимся к свойствам логарифмов, которые гласят:

1. logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(bc) - сумма двух логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму от произведения соответствующих аргументов. 2. logₐ(b) = -logₐ(1/b) - логарифм от числа равен противоположному логарифму от числа, взятого в обратную степень.

Применим эти свойства к уравнению.

log₁/₇(x-4) + log₁/₇(x+2) + 1 = 0

log₁/₇(x-4) + log₁/₇(x+2) = -1

Шаг 2: Используем правило перемножения логарифмов

По правилу перемножения логарифмов:

logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(bc)

Мы можем объединить два логарифма с одинаковым основанием в один логарифм:

log₁/₇[(x-4)(x+2)] = -1

Шаг 3: Используем определение логарифма

Вспомним определение логарифма:

logₐ(b) = c тогда и только тогда, когда a^c = b

Таким образом, мы можем переписать уравнение в экспоненциальной форме:

₁/₇[(x-4)(x+2)] = 7^(-1)

Шаг 4: Решаем уравнение

Теперь у нас есть экспоненциальное уравнение:

₁/₇[(x-4)(x+2)] = 1/7

Домножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:

(x-4)(x+2) = 1

Раскроем скобки:

x² - 2x - 4x + 8 = 1

x² - 6x + 7 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя факторизацию или квадратное уравнение.

Решим его с помощью факторизации:

(x - 1)(x - 7) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения x: x = 1 и x = 7.

Проверка:

Проверим оба значения, подставляя их в исходное уравнение:

При x = 1:

log₁/₇(1-4) + log₁/₇(1+2) + 1 = 0

log₁/₇(-3) + log₁/₇(3) + 1 = 0

Так как логарифм от отрицательного числа не определен, то x = 1 не является решением уравнения.

При x = 7:

log₁/₇(7-4) + log₁/₇(7+2) + 1 = 0

log₁/₇(3) + log₁/₇(9) + 1 = 0

Так как логарифм от положительного числа определен, то x = 7 является решением уравнения.

Ответ:

Решением данного уравнения log₁/₇(x-4) + log₁/₇(x+2) + 1 = 0 является x = 7.