Question

Помогите решить уравнение: lg(x-9)+lg(2x+1)=2

Answer 1

$\lg(x-9)+\lg(2x+1)=2$
ОДЗ: $\left \{ {{2x+1>0} \atop {x-9>0}} \right. \to \left \{ {{x>-0.5} \atop {x>9}} \right. \to\,\,\,\,x>9$

$\lg(x-9)+\lg(2x+1)=\lg100 \\ \lg((x-9)(2x+1))=\lg100 \\ \\ (x-9)(2x+1)=100 \\ 2x^2-17x-9-100=0\\2x^2-17x-109=0 \\ D=b^2-4ac=(-17)^2-4\cdot 2\cdot (-109)=1161$
$x_1= \frac{17-3 \sqrt{129} }{4}$ - не удовлетворяет ОДЗ
$x_2= \frac{17+3 \sqrt{129} }{4}$

Ответ: $\frac{17+3 \sqrt{129} }{4}$

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам.

Шаг 1: Применим свойства логарифмов В данном уравнении у нас есть два логарифма, поэтому мы можем использовать свойства логарифмов для их объединения в один логарифм. Согласно свойству логарифма lg(a) + lg(b) = lg(a * b), мы можем записать уравнение следующим образом:

lg((x - 9) * (2x + 1)) = 2

Шаг 2: Упростим выражение внутри логарифма Умножим выражение (x - 9) * (2x + 1):

(x - 9) * (2x + 1) = 2 * (x^2 - 7x - 9)

Теперь у нас есть следующее уравнение:

lg(2x^2 - 14x - 18) = 2

Шаг 3: Применим обратную функцию логарифма Обратная функция логарифма - это возведение 10 в степень. Применим обратную функцию к обоим сторонам уравнения:

10^(lg(2x^2 - 14x - 18)) = 10^2

2x^2 - 14x - 18 = 100

Шаг 4: Приведем уравнение к квадратному виду Перенесем все термы в одну сторону:

2x^2 - 14x - 118 = 0

Шаг 5: Решим квадратное уравнение Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. В нашем случае, a = 2, b = -14 и c = -118. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни уравнения.

Дискриминант (D) вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. В нашем случае, D = (-14)^2 - 4 * 2 * (-118) = 196 + 944 = 1140.

Теперь, используя формулу корней квадратного уравнения, мы можем найти значения x:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (14 ± √1140) / 4

x ≈ 12.94 или x ≈ -3.44

Таким образом, уравнение lg(x - 9) + lg(2x + 1) = 2 имеет два решения: x ≈ 12.94 и x ≈ -3.44.