Question

Sin^2x+sin^2п/6=cos^22x+cos^2п/3РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ

Answer 1

$cos^2x+sin^2\frac{\pi }{6}=cos^22x+cos^2\frac{\pi}{3}\\\\Formyla:\; \; \; \; cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}\\\\ \frac{1+cos2x}{2} +(\frac{1}{2})^2=cos^22x+(\frac{1}{2})^2\\\\cos^22x- \frac{1}{2} cos2x-\frac{1}{2} =0\; |\cdot 2\\\\2cos^22x-cos2x-1=0\\\\t=cos2x\; ,\; \; \; -1 \leq t \leq 1\\\\2t^2-t-1=0\\\\D=9\; ,\; \; t_1=-\frac{1}{2}\; ,\; \; t_2=1\\\\a)\; \; cos2x=-\frac{1}{2}\; ,\; \; \\\\2x=\pm (\pi -\frac{\pi}{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in Z\\\\x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in Z$

$b)\; \; cos2x=1\; ,\; \; 2x=2\pi m\; ,\; m\in Z\\\\x=\pi m\; ,\; m\in Z$

Answer 2

Для начала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. У нас есть следующие тождества:

1. \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) 2. \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \) и \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 3. \( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \) и \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Теперь подставим значения в уравнение и решим его:

\[ \sin^2(x) + \sin^2(\frac{\pi}{6}) = \cos^2(2x) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) \] \[ \sin^2(x) + \frac{1}{4} = \cos^2(2x) + \frac{1}{4} \]

Вычитаем \(\frac{1}{4}\) из обеих сторон:

\[ \sin^2(x) = \cos^2(2x) \]

Теперь используем тождество \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) и подставим его в уравнение:

\[ \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x) \]

Сложим \(2\sin^2(x)\) к обеим сторонам:

\[ 3\sin^2(x) = 1 \]

Разделим на 3:

\[ \sin^2(x) = \frac{1}{3} \]

Извлечем квадратный корень:

\[ \sin(x) = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} \]

Теперь найдем все решения на отрезке [0, 2π]:

\[ x = \arcsin\left(\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\right) \]

Таким образом, решения уравнения будут:

\[ x = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \] \[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \]

Таким образом, уравнение \( \sin^2(x) + \sin^2(\frac{\pi}{6}) = \cos^2(2x) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) \) имеет решения \( x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \).