Question

Помогите, пожалуйста! Найдите экстремумы функции Y=-x^3+6x^2+15x+1, полное решение с таблицей и прямой, заранее спасибо)

Answer 1

Производная данной функции: $y'=-3x^2+12x+15$

$y'=0;~~~~~ -3x^2+12x+15=0~~~|:(-3)\\ \\ x^2-4x-5=0\\ \\ (x-2)^2-9=0\\ \\ (x-2-3)(x-2+3)=0\\ \\ (x-5)(x+1)=0\\ \\ x_1=5;~~~~~~~ x_2=-1$

_____-____(-1)____+___(5)___-____
Производная функции в точке х=-1 меняет знак с (-) на (+), следовательно, х=-1 - точка минимума. а точке х=5 - точка максимума

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции Y=-x^3+6x^2+15x+1 сначала найдем ее производную:

Y' = -3x^2 + 12x + 15

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

-3x^2 + 12x + 15 = 0

Далее решим квадратное уравнение, чтобы найти точки экстремума. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = 12^2 - 4*(-3)*15 D = 144 + 180 D = 324

Теперь найдем корни уравнения:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1,2 = ( -12 ± √324 ) / (-6) x1 = ( -12 + 18 ) / (-6) x1 = 1

x2 = ( -12 - 18 ) / (-6) x2 = -5

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x1=1 и x2=-5.

Далее найдем значения функции в этих точках:

Y(1) = -(1)^3 + 6(1)^2 + 15(1) + 1 Y(1) = -1 + 6 + 15 + 1 Y(1) = 21

Y(-5) = -(-5)^3 + 6(-5)^2 + 15(-5) + 1 Y(-5) = -(-125) + 6*25 - 75 + 1 Y(-5) = 125 + 150 - 75 + 1 Y(-5) = 201

Теперь можем сделать таблицу значений:

| x | Y | |-------|-------| | -5 | 201 | | 1 | 21 |

Таким образом, мы нашли две точки экстремума: (-5, 201) и (1, 21).

Графически функция Y=-x^3+6x^2+15x+1 будет иметь вид параболы, и точки экстремума будут являться точками максимума и минимума на графике.