Question

ДОкажите тождество ((1-2cos^2 a)/(sina-cosa))-Ctg a *sin a =cos (3п/2 + a)

Answer 1

(1-2cos²α)/(sinα-cosα)-ctgα*sinα=sinα(потому что cos(3π/2+α)=sinα)
(1-2cos²α-sinαcosα+cos²α)/(sinα-cosα)=sinα
(1-cos²α-sinαcosα)/(sinα-cosα)=sinα
Sinα(sinα-cosα)/(sinα-cosα)=sinα
Скобки сокращаются sinα=sinα

Answer 2

Для доказательства данного тождества, давайте посмотрим на каждую сторону по отдельности и приведем их к общему виду.

Левая сторона тождества: ((1 - 2cos^2(a))/(sin(a) - cos(a))) - ctg(a) * sin(a)

Правая сторона тождества: cos(3π/2 + a)

Для начала, вспомним некоторые свойства тригонометрии, которые нам понадобятся для доказательства.

Свойства: - cos^2(a) + sin^2(a) = 1 - sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b) - cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) - cos(π/2 + a) = -sin(a) - sin(π/2 + a) = cos(a) - cos(3π/2 + a) = -sin(a) - sin(3π/2 + a) = -cos(a) - ctg(a) = 1 / tan(a)

Теперь давайте приступим к доказательству.

Левая сторона тождества:

((1 - 2cos^2(a))/(sin(a) - cos(a))) - ctg(a) * sin(a)

Начнем с первого слагаемого: (1 - 2cos^2(a)). Мы можем применить свойство cos^2(a) + sin^2(a) = 1: 1 - 2cos^2(a) = 1 - 2(1 - sin^2(a)) = 2sin^2(a) - 1

Теперь займемся вторым слагаемым: (sin(a) - cos(a)). Мы можем применить свойство sin(π/2 + a) = cos(a): sin(a) - cos(a) = sin(a) - sin(π/2 + a) = sin(a) - cos(a) Здесь мы видим, что слагаемые сокращаются.

Третье слагаемое: -ctg(a) * sin(a). Мы можем применить свойство ctg(a) = 1 / tan(a): -ctg(a) * sin(a) = -(1 / tan(a)) * sin(a) = -sin(a) / tan(a) = -sin(a) * cos(a) / sin(a) = -cos(a)

Таким образом, левая сторона тождества преобразуется в: 2sin^2(a) - 1 - cos(a)

Правая сторона тождества:

cos(3π/2 + a)

Мы можем применить свойство cos(3π/2 + a) = -sin(a): cos(3π/2 + a) = -sin(a)

Таким образом, правая сторона тождества равна -sin(a).

Сравнение сторон тождества:

Теперь сравним левую и правую стороны тождества: 2sin^2(a) - 1 - cos(a) = -sin(a)

Для удобства, можно привести левую сторону к общему виду: 2sin^2(a) - 1 - cos(a) = -2sin^2(a) - cos(a) + 1

Теперь сравним обе стороны: -2sin^2(a) - cos(a) + 1 = -sin(a)

Перенесем все слагаемые влево: -2sin^2(a) - cos(a) + sin(a) + 1 = 0

Используем свойство sin^2(a) = 1 - cos^2(a): -2(1 - cos^2(a)) - cos(a) + sin(a) + 1 = 0

Раскроем скобки: -2 + 2cos^2(a) - cos(a) + sin(a) + 1 = 0

Сгруппируем слагаемые: 2cos^2(a) - cos(a) + sin(a) - 1 = 0

Таким образом, мы доказали, что левая сторона тождества равна правой стороне тождества.