Question

Докажите тождество (x-2)(x-3)(x^2-5x+6)=(x-2)^2(x-3)^2

Answer 1

(x-2)(x-3)(x^2-5x+6)=(x-2)^2(x-3)^2
х^2-5x+6=...
D=25-4*6=1
x1,2=(5+-1)/2⇒x1=2, x2=3
(x-2)(x-3)(x-2)(x-3)=(x-2)^2(x-3)^2
(x-2)^2(x-3)^2=(x-2)^2(x-3)^2

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, мы можем раскрыть обе части уравнения и убедиться, что они равны друг другу. Давайте начнем с раскрытия левой части:

(x-2)(x-3)(x^2-5x+6) =

Раскроем первые два множителя, используя правило раскрытия скобок:

= (x^2 - 5x + 6)(x^2 - 5x + 6)

Мы можем раскрыть скобки с помощью метода "FOIL" (First, Outer, Inner, Last):

= x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x^3 + 25x^2 - 30x + 6x^2 - 30x + 36

Соберем подобные слагаемые:

= x^4 - 10x^3 + 37x^2 - 60x + 36

Теперь давайте раскроем правую часть уравнения:

(x-2)^2(x-3)^2 =

Раскроем каждый квадратный множитель, используя правило раскрытия скобок:

= (x^2 - 4x + 4)(x^2 - 6x + 9)

Снова применим метод "FOIL":

= x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 4x^3 + 24x^2 - 36x + 4x^2 - 24x + 36

Соберем подобные слагаемые:

= x^4 - 10x^3 + 37x^2 - 60x + 36

Как видно, левая и правая части уравнения равны друг другу. Таким образом, мы доказали тождество:

(x-2)(x-3)(x^2-5x+6) = (x-2)^2(x-3)^2

Тождество верно для любых значений переменной x.