Question

Решите неравенство 6x^2-7x-24<0

Answer 1

6x²-7x-24<0
D=(-7)²-4*6*(-24)=49+576=625=25²
x1=(7+25)/12=32/12=8/3
x2=(7-25)/12=18/12=3/2
6(x-8/3)(x-3/2)<0
                +                                -                              +
_______________3/2______________8/3__________

x∈(3/2;8/3)
x∈(1 1/2; 2 2/3)

Answer 2

Для решения неравенства 6x^2 - 7x - 24 < 0, мы можем использовать метод интервалов или графический метод.

Метод интервалов:

1. Найдите корни квадратного уравнения 6x^2 - 7x - 24 = 0, используя факторизацию, метод квадратного корня или формулу дискриминанта. Корни этого уравнения будут точками, где функция меняет знак.

Решим уравнение 6x^2 - 7x - 24 = 0: Дискриминант D = (-7)^2 - 4 * 6 * (-24) = 49 + 576 = 625 Корень дискриминанта √D = √625 = 25 x1 = (7 + 25) / (2 * 6) = 32 / 12 = 8/3 x2 = (7 - 25) / (2 * 6) = -18 / 12 = -3/2 Получаем два корня: x1 = 8/3 и x2 = -3/2.

2. Постройте интервалы на числовой оси, используя найденные корни.

Мы имеем следующие интервалы: (-бесконечность, -3/2), (-3/2, 8/3), (8/3, +бесконечность)

3. Выберите тестовую точку в каждом интервале и определите знак выражения 6x^2 - 7x - 24 на этом интервале.

Выберем точки: -4, 0, 3 Подставим эти значения в исходное выражение: Для x = -4: 6(-4)^2 - 7(-4) - 24 = 96 + 28 - 24 = 100 > 0 Для x = 0: 6(0)^2 - 7(0) - 24 = -24 < 0 Для x = 3: 6(3)^2 - 7(3) - 24 = 54 - 21 - 24 = 9 > 0

4. Определите знак выражения 6x^2 - 7x - 24 на каждом интервале.

Знаки выражения: (-бесконечность, -3/2): Положительный (+) (-3/2, 8/3): Отрицательный (-) (8/3, +бесконечность): Положительный (+)

5. Запишите решение неравенства в виде объединения интервалов с нужными знаками.

Решение неравенства 6x^2 - 7x - 24 < 0: x принадлежит (-3/2, 8/3)

Графический метод:

1. Постройте график функции y = 6x^2 - 7x - 24.

График будет иметь форму параболы, открывающейся вверх.

2. Определите интервалы, где график функции находится ниже оси x (y < 0).

Интервалы, где y < 0, соответствуют решению неравенства.

На графике можно видеть, что график пересекает ось x в точках x = -3/2 и x = 8/3, что подтверждает результаты, полученные методом интервалов.

Таким образом, решением неравенства 6x^2 - 7x - 24 < 0 является интервал (-3/2, 8/3).