Question

Найти наименьший корень уравнения cos3x-sin3x=sin7x-cos7x, принадлежащий отрезке [0';90']

Answer 1

(cos3x+cos7x)-(sin3x+sin7x)=0
2cos5xcos2x-2sin5xcos2x=0
2cos2x(cos5x-sin5x)=0
cos2x=0⇒2x=π/2+πn⇒x=π/4+πn/2
sin(π/2-5x)-sin5x=0
2sin(π/4-5x)cosπ/8=0
sin(π/4-5x)=0⇒π/4-5x=πn⇒5x=π/4+πn⇒x=π/20+πn/5
Наименьший х=π/20

Answer 2

Для нахождения наименьшего корня уравнения cos3x-sin3x=sin7x-cos7x на отрезке [0°, 90°] сначала найдем все корни данного уравнения на данном отрезке.

Для этого преобразуем уравнение: cos3x - sin3x = sin7x - cos7x cos3x - sin3x + cos7x - sin7x = 0 (cos3x + cos7x) - (sin3x + sin7x) = 0 2cos(5x)sin(2x) - 2sin(5x)cos(2x) = 0 sin(10x) - sin(4x) = 0 sin(10x) = sin(4x)

Теперь найдем все корни уравнения sin(10x) = sin(4x) на отрезке [0°, 90°]. Для этого рассмотрим возможные значения угла x: 1. 10x = 4x x = 0°

2. 10x = 180° - 4x 6x = 180° x = 30°

3. 10x = 180° + 4x (не подходит для отрезка [0°, 90°])

4. 10x = 360° - 4x 14x = 360° x = 25.71°

Таким образом, на отрезке [0°, 90°] у уравнения sin(10x) = sin(4x) есть два корня: x = 0° и x = 30°. Нам нужно найти наименьший корень, который равен 0°.

Итак, наименьший корень уравнения cos3x-sin3x=sin7x-cos7x, принадлежащий отрезку [0°, 90°], равен 0°.