Question

Производная функция f(x)=x(x^-4)

Answer 1

(x*x^-4)' = (x^-3)' = -3x^-4

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции f(x) = x(x^-4), мы можем использовать правило производной произведения двух функций, а также правило производной степенной функции.

Разложение функции

Давайте сначала разложим функцию f(x) на произведение двух функций:

f(x) = x * (x^-4)

Здесь первая функция - это x, а вторая функция - это x^-4.

Производная первой функции

Чтобы найти производную первой функции, нужно просто применить правило производной переменной:

f'(x) = 1 * (x^-4) + x * (d/dx(x^-4))

Производная второй функции

Чтобы найти производную второй функции, мы должны использовать правило производной степенной функции. Для функции вида g(x) = x^n, производная равна n * x^(n-1).

Здесь вторая функция - это x^-4. Применяя правило производной степенной функции, получим:

(d/dx(x^-4)) = -4 * x^(-4-1) = -4 * x^-5 = -4/x^5

Подставляем значения

Теперь, заменяя значения в формуле производной первой функции, получим:

f'(x) = 1 * (x^-4) + x * (-4/x^5)

Упрощение

Для удобства упрощения, давайте приведем общий знаменатель:

f'(x) = (x^-4) - 4x/x^5

Упрощение степени

Чтобы упростить степень, можно использовать следующее свойство: x^-n = 1/x^n.

Применяя это свойство к первому члену, получим:

(x^-4) = 1/x^4

Упрощение дроби

Теперь мы можем упростить дробь, объединив ее в одну дробь:

f'(x) = 1/x^4 - 4x/x^5

Общий знаменатель

Для сложения и вычитания дробей, необходимо иметь общий знаменатель. У нас уже есть общий знаменатель x^5, поэтому мы можем привести дроби к общему знаменателю:

f'(x) = (1 - 4x)/x^5

Ответ

Таким образом, производная функции f(x) = x(x^-4) равна (1 - 4x)/x^5.