Question

Решить методом интервалов 4x(x-2)(3x+2)<0

Answer 1

4x(x-2)(3x+2)<0
Приравняем каждый множитель к нулю и отметим найденные точки на числовой оси:
1) 4x=0; x=0
2)x-2=0; x=2
3)3x+2=0; 3x=-2; x=-2/3

______-______(-2/3)____+____(0)_____-____(2)______+_______
//////////////////////                            /////////////////

Ответ: x e ( -беск.; -2/3)U(0;2)

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, мы должны найти значения x, при которых выражение 4x(x-2)(3x+2) меньше нуля.

Шаг 1: Найти критические точки

Сначала найдем критические точки, то есть значения x, при которых выражение 4x(x-2)(3x+2) равно нулю. Для этого, мы должны решить уравнения:

4x = 0 (уравнение 1) x-2 = 0 (уравнение 2) 3x+2 = 0 (уравнение 3)

Решим каждое уравнение по отдельности:

Из уравнения 1: 4x = 0, получаем x = 0. Из уравнения 2: x-2 = 0, получаем x = 2. Из уравнения 3: 3x+2 = 0, получаем x = -2/3.

Таким образом, критические точки равны x = 0, x = 2 и x = -2/3.

Шаг 2: Построение интервалов

Теперь мы можем построить интервалы на числовой оси, используя критические точки.

Разделим числовую ось на четыре интервала: - Интервал 1: x < -2/3 - Интервал 2: -2/3 < x < 0 - Интервал 3: 0 < x < 2 - Интервал 4: x > 2

Шаг 3: Определение знака выражения на каждом интервале

Теперь для каждого интервала, определим знак выражения 4x(x-2)(3x+2).

- Интервал 1: x < -2/3 Подставим x = -1 в выражение 4x(x-2)(3x+2): 4*(-1)*((-1)-2)*(3*(-1)+2) = 4*(-1)*(-3)*(-1) = -12 Знак выражения на этом интервале: отрицательный (-).

- Интервал 2: -2/3 < x < 0 Подставим x = -1/2 в выражение 4x(x-2)(3x+2): 4*(-1/2)*((-1/2)-2)*(3*(-1/2)+2) = 4*(-1/2)*((-5/2)*(1/2)) = 10/4 Знак выражения на этом интервале: положительный (+).

- Интервал 3: 0 < x < 2 Подставим x = 1 в выражение 4x(x-2)(3x+2): 4*1*((1)-2)*(3*(1)+2) = 4*1*(-1)*5 = -20 Знак выражения на этом интервале: отрицательный (-).

- Интервал 4: x > 2 Подставим x = 3 в выражение 4x(x-2)(3x+2): 4*3*((3)-2)*(3*(3)+2) = 4*3*1*11 = 132 Знак выражения на этом интервале: положительный (+).

Шаг 4: Ответ

Теперь мы можем составить ответ на исходное неравенство 4x(x-2)(3x+2) < 0, используя знаки выражения на каждом интервале:

- Интервал 1: x < -2/3, знак: отрицательный (-). - Интервал 2: -2/3 < x < 0, знак: положительный (+). - Интервал 3: 0 < x < 2, знак: отрицательный (-). - Интервал 4: x > 2, знак: положительный (+).

Таким образом, решением исходного неравенства 4x(x-2)(3x+2) < 0 является: x < -2/3 или 0 < x < 2

Это означает, что значения x, удовлетворяющие исходному неравенству, находятся в интервалах, где выражение 4x(x-2)(3x+2) меньше нуля.