Question

Log по основанию 2x+3 (3x+2)+ log по основанию 3x+2 (2x+3)=2. Как это решить? Можно с объяснением и какой метод используем в данном примере

Answer 1

ОДЗ:
1. 
$\left \{ {{2x+3\ \textgreater \ 0} \atop {2x+3 \neq 1}} \right. , \left \{ {{2x\ \textgreater \ -3} \atop {2x \neq -2}} \right. , \left \{ {{x\ \textgreater \ -1,5} \atop {x \neq -1}} \right.$
=> x∈(-1,5;-1)∪(-1;∞)
2. 
$\left \{ {{3x+2\ \textgreater \ 0} \atop {3x+2 \neq 1}} \right. , \left \{ {{x\ \textgreater \ - \frac{2}{3} } \atop {x \neq - \frac{1}{3} }} \right.$
=> x∈(-2/3; -1/3)∪(-1/3;∞)
3. $\left \{ {{2x+3\ \textgreater \ 0} \atop {3x+2\ \textgreater \ 0}} \right. , \left \{ {{x\ \textgreater \ -1,5} \atop {x\ \textgreater \ - \frac{2}{3} }} \right.$
=> x>-2/3

ОДЗ:
x∈(-2/3; -1/3)∪(-1/3;∞)
формула перехода к новому основанию с:
$log_{a} b= \frac{ log_{c}b }{ log_{c} a}$

перейти к основанию а= 2х+3:
$log_{2x+3} (3x+2)+ \frac{1}{ log_{2x+3} (3x+2)} =2 |* log_{2x+3} (3x+2)$
$( log_{2x+3} (3x+2))^{2} -2* log_{2x+3} (3x+2)+1=0$
логарифмическое квадратное уравнение, замена переменной:
$log_{2x+3} (3x+2)=t$
t²-2t+1=0
(t-1)²=0,  t=1
обратная замена:
$t=1 log_{2x+3}(3x+2)=1$
по определению логарифма:
(2x+3)¹=3x+2
2x-3x=2-3
x=1
x∈(-2/3;-1/3)∪(-1/3;∞)

ответ: х=1

Answer 2

Я могу помочь вам решить логарифмическое уравнение. Ваше уравнение имеет вид:

$$\log_{2x+3}(3x+2)+\log_{3x+2}(2x+3)=2$$

Для решения этого уравнения нужно использовать свойства логарифмов и преобразовать его в экспоненциальное уравнение. Вот основные шаги:

- Применить правило произведения логарифмов, чтобы получить один логарифм с одинаковым основанием с каждой стороны уравнения. Правило произведения говорит, что $\log_a(b)+\log_a(c)=\log_a(bc)$. - Отбросить логарифмы и приравнять аргументы (выражения в скобках) друг к другу. Это даст экспоненциальное уравнение. - Решить экспоненциальное уравнение, используя методы решения квадратных уравнений, такие как факторизация или формула квадратного уравнения. - Проверить полученные решения, подставив их в исходное уравнение. Исключить те решения, которые делают аргумент или основание логарифма отрицательным или равным нулю, так как это не определено.

Вы можете найти более подробные объяснения и примеры решения логарифмических уравнений на этих сайтах: [Symbolab](https://www.symbolab.com/solver/logarithmic-equation-calculator), [ChiliMath](https://www.chilimath.com/lessons/advanced-algebra/solving-logarithmic-equations/), [Khan Academy](https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-exp-and-log/alg-logarithmic-equations/v/solving-logarithmic-equations). Надеюсь, это вам поможет. Удачи!solve log equations with explanation