Question

(tg a * cos a )^ 2 + ( ctg a * sin a )^2 упростите выражение

Answer 1

(sinα/cosα×cosα)²+(cosα/sinα×sinα)²=sin²α+cos²α=1
tgα=sinα/cosα
ctgα=cosα/sinα

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться формулами тригонометрии и свойствами степеней. Давайте разберемся пошагово.

Выражение `(tg a * cos a)^2 + (ctg a * sin a)^2` может быть упрощено с помощью формулы тригонометрии, которая гласит:

`(tg a)^2 + 1 = (sec a)^2` и `(ctg a)^2 + 1 = (cosec a)^2`

Таким образом, наше выражение может быть упрощено до:

`(tg a * cos a)^2 + (ctg a * sin a)^2 = (sec a)^2 * cos^2 a + (cosec a)^2 * sin^2 a`

Далее, мы можем использовать тригонометрическую тождественность `sin^2 a + cos^2 a = 1`, чтобы упростить выражение еще дальше. Подставим это тождество:

`(sec a)^2 * cos^2 a + (cosec a)^2 * sin^2 a = (sec a)^2 * (1 - sin^2 a) + (cosec a)^2 * sin^2 a`

Теперь мы можем раскрыть скобки и упростить выражение:

`(sec a)^2 * (1 - sin^2 a) + (cosec a)^2 * sin^2 a = (sec a)^2 - (sec a)^2 * sin^2 a + (cosec a)^2 * sin^2 a`

Дальше мы можем использовать формулу `sec^2 a = 1 + tan^2 a` и `cosec^2 a = 1 + cot^2 a`:

`(sec a)^2 - (sec a)^2 * sin^2 a + (cosec a)^2 * sin^2 a = (1 + tan^2 a) - (1 + tan^2 a) * sin^2 a + (1 + cot^2 a) * sin^2 a`

После раскрытия скобок и упрощения получаем:

`(1 + tan^2 a) - (1 + tan^2 a) * sin^2 a + (1 + cot^2 a) * sin^2 a = 1 + tan^2 a - tan^2 a * sin^2 a + sin^2 a + cot^2 a * sin^2 a`

Теперь мы можем объединить подобные слагаемые:

`1 + tan^2 a - tan^2 a * sin^2 a + sin^2 a + cot^2 a * sin^2 a = 1 + sin^2 a + tan^2 a * (1 - sin^2 a) + cot^2 a * sin^2 a`

Далее, мы можем использовать тождество `1 - sin^2 a = cos^2 a` и `tan^2 a = sec^2 a - 1`:

`1 + sin^2 a + tan^2 a * (1 - sin^2 a) + cot^2 a * sin^2 a = 1 + sin^2 a + (sec^2 a - 1) * (cos^2 a) + (cosec^2 a - 1) * sin^2 a`

Мы можем раскрыть скобки и упростить:

`1 + sin^2 a + (sec^2 a - 1) * (cos^2 a) + (cosec^2 a - 1) * sin^2 a = 1 + sin^2 a + sec^2 a * cos^2 a - cos^2 a - cosec^2 a * sin^2 a + sin^2 a`

Теперь можно сократить подобные слагаемые:

`1 + sin^2 a + sec^2 a * cos^2 a - cos^2 a - cosec^2 a * sin^2 a + sin^2 a = 1 + sec^2 a * cos^2 a - cos^2 a - cosec^2 a * sin^2 a`

И, наконец, мы можем использовать тождество `sec^2 a - 1 = tan^2 a` и `cosec^2 a - 1 = cot^2 a`:

`1 + sec^2 a * cos^2 a - cos^2 a - cosec^2 a * sin^2 a = 1 + tan^2 a * cos^2 a - cos^2 a - cot^2 a * sin^2 a`

Таким образом, упрощенное выражение `(tg a * cos a)^2 + (ctg a * sin a)^2` равно `1 + tan^2 a * cos^2 a - cos^2 a - cot^2 a * sin^2 a`.

Надеюсь, это помогло вам понять, как упростить данное выражение. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!