Question

Найдите функцию F(x) по её производной F'(x) и условию F(a)=b: 1)F'(x)= 4x^3 - 3x^2 и F(1)=3 2) F'(x)=5x^4-4x^3-2x и F(1)=4

Answer 1

1) $F(x)= \int\limits {(4x^3-3x^2}) \, dx =4* \frac{x^4}{4}-3* \frac{x^3}{3}+C=x^4-x^3+C$
$F(1)=1^4-1^3+C=3$
$C=3$
$F(x)=x^4-x^3+3$

2) $F(x)= \int\limits {5x^4-4x^3-2x} \, dx =x^5-x^4-x^2+C$
$F(1)=1^5-1^4-1^2+C=4$
$C=5$
$F(x)=x^5-x^4-x^2+5$

Answer 2

Для нахождения функции F(x) по её производной F'(x) и условию F(a) = b, мы можем использовать методы интегрирования.

1) F'(x) = 4x^3 - 3x^2 и F(1) = 3

Чтобы найти F(x), мы должны проинтегрировать производную F'(x). Для этого мы берем каждый член производной и интегрируем его по отдельности. Таким образом, интеграл от 4x^3 будет равен (4/4) * x^4 = x^4, а интеграл от -3x^2 будет равен (-3/3) * x^3 = -x^3. Константу интегрирования обозначим как C.

Итак, получаем:

F(x) = x^4 - x^3 + C

Теперь, чтобы найти константу C, мы используем условие F(1) = 3. Подставляем x = 1 в уравнение F(x), получаем:

3 = 1^4 - 1^3 + C 3 = 1 - 1 + C 3 = C

Таким образом, окончательная функция F(x) будет:

F(x) = x^4 - x^3 + 3

2) F'(x) = 5x^4 - 4x^3 - 2x и F(1) = 4

Аналогично первому примеру, мы интегрируем каждый член производной по отдельности. Интеграл от 5x^4 будет равен (5/5) * x^5 = x^5, интеграл от -4x^3 будет равен (-4/4) * x^4 = -x^4 и интеграл от -2x будет равен (-2/2) * x^2 = -x^2.

Получаем:

F(x) = x^5 - x^4 - x^2 + C

Теперь подставим x = 1 в уравнение F(x), чтобы найти константу C:

4 = 1^5 - 1^4 - 1^2 + C 4 = 1 - 1 - 1 + C 4 = -1 + C C = 5

Таким образом, окончательная функция F(x) будет:

F(x) = x^5 - x^4 - x^2 + 5

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!