Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ!решить уравнение 1/2lg(x^2-4x-1)=lg(8x)-lg(4x)

Answer 1

(1/2)lg(x^2-4x-1)=lg8x-lg4x
ОДЗ: х>0, x^2-4x-1>0
lg((x^2-4x-1)^(1/2)) = lg2
 (x^2-4x-1)^(1/2) = 2
Степень 1/2 переносим к 2, получаем 4.
x^2-4x-1=4
x^2-4x-5 = 0
x = 5, х = -1.
Но, так как х по условию больше 0, то х = -1 не является корнем.
Ответ: х=5

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение, которое нам дано: $\frac{1}{2}\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(8x) - \lg(4x)$

Первым шагом давайте объединим логарифмы справа от знака равенства, используя свойство $\lg(a) - \lg(b) = \lg\left(\frac{a}{b}\right)$: $\frac{1}{2}\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg\left(\frac{8x}{4x}\right)$

Это упрощается до: $\frac{1}{2}\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(2)$

Следующим шагом возведем обе части уравнения в степень 10, чтобы избавиться от логарифмов: $10^{\frac{1}{2}\lg(x^2 - 4x - 1)} = 10^{\lg(2)}$

По свойству $10^{\lg(a)} = a$, получаем: $\sqrt{x^2 - 4x - 1} = 2$

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $(\sqrt{x^2 - 4x - 1})^2 = 2^2$

Это дает нам: $x^2 - 4x - 1 = 4$

Приводим уравнение в стандартную квадратную форму, перенося все члены в одну сторону: $x^2 - 4x - 1 - 4 = 0$

Упрощаем: $x^2 - 4x - 5 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя, например, квадратное уравнение или методы факторизации. Воспользуемся квадратным уравнением: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Для нашего уравнения $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$. Тогда: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$

Упрощаем: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$ $x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$ $x = \frac{4 \pm 6}{2}$

Получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$ $x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Таким образом, уравнение $1/2\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(8x) - \lg(4x)$ имеет два решения: $x = 5$ и $x = -1$.