Question

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 20 градусам. Доказать, что имеет место равенство a3+b3=3ab2

Answer 1

Сделаю предположение, что a - это основание, b - боковая сторона. Опустив высоту на основание, получаем прямоугольный треугольник с катетом (a/2) против угла в 10 градусов и гипотенузой b. Поэтому

$\frac{a}{2b}=\sin 10^{\circ}.$. 

Далее, $\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ}=\sin (3\cdot 10^{\circ})=3\sin 10^{\circ}-4\sin^3 10^{\circ}.$

Подставим в это равенство a/(2b) вместо синуса 10 градусов:

$\frac{1}{2}=\frac{3a}{2b}-\frac{4a^3}{8b^3}\Rightarrow b^3=3ab^2-a^3;\ a^3+b^3=3ab^2,$

что и требовалось

Answer 2

Для доказательства равенства a^3 + b^3 = 3ab^2 в равнобедренном треугольнике с углом при вершине, равным 20 градусам, мы можем использовать тригонометрические соотношения и свойства треугольников.

Давайте обозначим длину основания равнобедренного треугольника как a, а длину боковой стороны как b. Так как треугольник равнобедренный, то его другая боковая сторона также равна b.

Соотношение синуса

Для начала, давайте воспользуемся соотношением синуса в треугольнике:

sin(20°) = b / a

Мы можем переписать это соотношение, выразив b через a:

b = a * sin(20°)

Равенство кубов

Теперь, чтобы доказать равенство a^3 + b^3 = 3ab^2, заменим b в этом выражении:

a^3 + (a * sin(20°))^3 = 3a(a * sin(20°))^2

Раскроем скобки и упростим выражение:

a^3 + a^3 * sin^3(20°) = 3a^3 * sin^2(20°)

Упрощение выражения

Теперь упростим полученное выражение, разделив обе части на a^3:

1 + sin^3(20°) = 3 * sin^2(20°)

Тригонометрические тождества

Воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы переписать sin^3(20°) и sin^2(20°):

sin^3(20°) = (1 - cos^2(20°)) * sin(20°)

sin^2(20°) = 1 - cos^2(20°)

Подставим эти значения:

1 + (1 - cos^2(20°)) * sin(20°) = 3 * (1 - cos^2(20°))

Упрощение выражения

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

1 + sin(20°) - sin(20°) * cos^2(20°) = 3 - 3 * cos^2(20°)

Упрощение дальше

Перенесем все члены на одну сторону:

2 - 2 * sin(20°) - sin(20°) * cos^2(20°) + 3 * cos^2(20°) = 0

Факторизация

Теперь факторизуем полученное выражение:

2 - 2 * sin(20°) + cos^2(20°) * (3 - sin(20°)) = 0

Свойство тригонометрического тождества

Используем тригонометрическое тождество cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ), где θ = 20°:

2 - 2 * sin(20°) + (1 - sin^2(20°)) * (3 - sin(20°)) = 0

Упрощение

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

2 - 2 * sin(20°) + 3 - 3 * sin(20°) - sin^2(20°) + sin^3(20°) = 0

Использование тригонометрического тождества

Используем тождество sin^3(θ) = sin(θ) - sin^2(θ), где θ = 20°:

2 - 2 * sin(20°) + 3 - 3 * sin(20°) - sin^2(20°) + sin(20°) - sin^2(20°) = 0

Упрощение дальше

Упростим полученное выражение:

5 - 5 * sin(20°) - 2 * sin^2(20°) = 0

Факторизация

Теперь факторизуем полученное выражение:

(1 - sin(20°)) * (5 + 2 * sin(20°)) = 0

Решение

Итак, мы получили два множителя: (1 - sin(20°)) и (5 + 2 * sin(20°)). Значение sin(20°) отлично от 1, поэтому (1 - sin(20°)) не равно нулю. Это означает, что равенство a^3 + b^3 = 3ab^2 выполняется только при условии (5 + 2 * sin(20°)) = 0.

Однако, так как sin(20°) не равно -2.5, то это равенство не выполняется.

Таким образом, равенство a^3 + b^3 = 3ab^2 не имеет места в равнобедренном треугольнике с углом при вершине, равным 20 градусам.