Question

Просьба с объяснением найти точку максимума функции y=x^3+8x^2+16x+3

Answer 1

y = x^3 + 8x^2 +16x +3

y' = 3x^2+16x+16

 

крит. точки

y'=0

3x^2+16x+16=0

D=256-192=64

x=(-16+8)/6=-8/6=-4/3

x=(-16-8)/6=-4

 

3(x+4/3)(x+4)=0

(3x+4)(x+4)=0

 

ymax=y(-4)=(-4)^3+8(-4)^2+16(-4)+3=-64+128-64+3=3

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции y = x^3 + 8x^2 + 16x + 3 мы можем использовать производную функции. Точка максимума функции соответствует месту, где производная равна нулю и меняет знак с отрицательного на положительный.

Функция и её производная

Данная функция имеет вид: y = x^3 + 8x^2 + 16x + 3

Чтобы найти производную функции, возьмем производные от каждого члена по отдельности и суммируем их: y' = 3x^2 + 16x + 16

Находим точку максимума

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 + 16x + 16 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта.

Решение квадратного уравнения

Используя формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = 16 и c = 16, получим: D = 16^2 - 4 * 3 * 16 = 256 - 192 = 64

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. x1 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-16 - sqrt(64)) / (2 * 3) = (-16 - 8) / 6 = -4/3 x2 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-16 + sqrt(64)) / (2 * 3) = (-16 + 8) / 6 = -2

Находим y-координаты

Теперь, чтобы найти соответствующие y-координаты, подставим найденные значения x в исходную функцию: y1 = (-4/3)^3 + 8(-4/3)^2 + 16(-4/3) + 3 ≈ -1.37 y2 = (-2)^3 + 8(-2)^2 + 16(-2) + 3 = -11

Итоговый ответ

Точки максимума функции y = x^3 + 8x^2 + 16x + 3 находятся при x ≈ -4/3 и x = -2. Соответствующие y-координаты для этих точек равны примерно -1.37 и -11 соответственно.