Question

Сколько корней имеет уравнение cosx*cos4x-cos5x=0 на промежутке [0;pi]?

Answer 1

$cosxcos4x-cos5x=0;cosxcos4x-(cosxcos4x-sinxsin4x)=0$

$sinxsin4x=0$
$sinx=0;x= \pi n$
или
$sin4x=0;x= \frac{ \pi }{4} n$
не трудно догадаться что общая серия решений -   $x= \frac{ \pi }{4} n$
для данного промежутка подходят $n$ от 0 до 4 т.е пять корней

Answer 2

Уравнение cosx*cos4x-cos5x=0 имеет несколько корней на промежутке [0; pi]. Чтобы найти количество корней, давайте рассмотрим каждый из слагаемых в уравнении по отдельности.

Рассмотрение слагаемых

1. cosx*cos4x: Это произведение двух косинусов. Косинус является периодической функцией с периодом 2π. Поэтому, чтобы найти корни этого слагаемого, мы можем рассмотреть его на промежутке [0; 2π]. 2. cos5x: Косинус 5x также является периодической функцией с периодом 2π. Поэтому, чтобы найти корни этого слагаемого, мы также можем рассмотреть его на промежутке [0; 2π].

Поиск корней

1. cosx*cos4x: На промежутке [0; 2π] уравнение cosx*cos4x=0 имеет корни, когда один из множителей равен нулю. То есть, когда cosx=0 или cos4x=0. - Для cosx=0, корни находятся в точках, где x равно π/2 и 3π/2. - Для cos4x=0, корни находятся в точках, где 4x равно π/2, 3π/2, 5π/2 и 7π/2. Разделив каждое из этих значений на 4, мы получим корни для x.

2. cos5x: На промежутке [0; 2π] уравнение cos5x=0 имеет корни, когда 5x равно π/2, 3π/2, 5π/2 и 7π/2. Разделив каждое из этих значений на 5, мы получим корни для x.

Общее количество корней

Суммируя все найденные корни, мы получаем общее количество корней уравнения cosx*cos4x-cos5x=0 на промежутке [0; pi].

Ответ

Уравнение cosx*cos4x-cos5x=0 имеет шесть корней на промежутке [0; pi]. Эти корни находятся в следующих точках: x = π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2, π/10 и 9π/10