Question

1) 3cos^2x-sinx-1=0 2)tg^2x-sinx+1=0 3)tg^2x-sinx+1=0 4)4sin^2x-cosx-1=0

Answer 1

$3\cos^2x-\sin x-1=0\\ 3\cdot(1-\sin^2x)-\sin x-1=0\\ 3-3\sin^2x-\sin x-1=0\\ -3\sin^2x-\sin x+2=0|\cdot(-1)\\ 3\sin^2x+\sin x-2=0$
Пусть $\sin x=t$, причем $|t| \leq 1$, тогда имеем
$3t^2+t-2=0\\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-2)=1+24=25\\ \\ t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \dfrac{-1+5}{2\cdot3} = \dfrac{2}{3} \\ \\ t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \dfrac{-1-5}{2\cdot3} =-1$
Обратная замена
$\sin x= \frac{2}{3} \\ x_1=(-1)^k\cdot \arcsin\frac{2}{3} + \pi k,k \in \mathbb{Z}$
$\sin x=-1\\ x_2=- \frac{\pi}{2} +2 \pi k,k \in \mathbb{Z}$

Номер 2) и 3) совпадают
$tg^2x-\sin x+1=0$
ОДЗ: $\cos^2x\ne0\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, x\ne \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in \mathbb{Z}$

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} +1-\sin x=0\\ \\ \frac{\sin^2x}{1-\sin^2x} +1-\sin x=0$
Пусть $\sin x=t(|t| \leq 1)$, тогда имеем
$\frac{t^2}{1-t^2} +1-t=0|\cdot(1-t^2)\\ t^2+(1-t)(1-t^2)=0\\ t^2+1-t^2-t+t^3=0\\ t^3-t+1=0$
Кубическое уравнение можно решить формулой Виета-Кардано
$x^3+ax^2+bx+c=0$ - общий вид
$Q= \dfrac{a^2-3b}{9} = \dfrac{0^2-3\cdot(-1)}{9} = \dfrac{1}{3}$

$R= \dfrac{2a^3-9ab+27c}{54} = \dfrac{27c}{54} = \dfrac{c}{2} = \dfrac{1}{2}$

$S=Q^3-R^2=\bigg( \dfrac{1}{3} \bigg)^3-\bigg( \dfrac{1}{2} \bigg)^2=- \dfrac{23}{108}$
Поскольку $S\ \textless \ 0$, то отсюда следует, что уравнение имеет один действительный корень также 2 комплексных.

$\phi=Arch(|R|/Q^{3/2})/3\approx0.536$
Тогда действительный корень можем найти следующим образом
x = -2sgn(R)√Q·ch(Ф)-a/3 = -1.325 ∉ [-1;1]

Cледовательно уравнение решений не имеет.

$4\sin^2x-\cos x-1=0\\ 4\cdot(1-\cos^2x)-\cos x-1=0\\ 4\cdot (1-\cos x)(1+\cos x)-(\cos x +1)=0\\ (1+\cos x)(4-4\cos x-1)=0\\ (1+\cos x)(3-4\cos x)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$1+\cos x=0\\ \cos x=-1\\ x= \pi +2 \pi n,n \in \mathbb{Z}$

$3-4\cos x=0\\ \cos x= \frac{3}{4} \\ x=\pm \arccos \frac{3}{4} +2 \pi n,n \in \mathbb{Z}$