Question

cos(П/3-2х)- cos (п/6-2х)<1 решить неравенство

Answer 1

$-2sin\dfrac{\frac{\pi}{3}-2x+\frac{\pi}{6}-2x}{2}sin\dfrac{\frac{\pi}{3}-2x-\frac{\pi}{6}+2x}{2}<1$
$-2sin(\dfrac{\pi}{4}-2x)sin\dfrac{\pi}{12}<1$
$sin(\dfrac{\pi}{4}-2x)sin\dfrac{\pi}{12}>-\dfrac{1}{2}$
$sin(\dfrac{\pi}{4}-2x)*\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}>-\dfrac{1}{2}$
$sin(\dfrac{\pi}{4}-2x)*(\sqrt6-\sqrt2)>-2$
$sin(\dfrac{\pi}{4}-2x)>-\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2} \approx-1.93$
Данное неравенство выполняется при любом значении х, т.к. $-1 \leq sin\ t \leq 1$
Ответ: х - любое.

Answer 2

Давайте решим неравенство:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) < 1 \]

Для решения этого неравенства, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Начнем с использования формулы суммы для косинуса:

\[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

Теперь подставим значения \(A = \frac{\pi}{3} - 2x\) и \(B = \frac{\pi}{6} - 2x\):

\[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) \]

Также воспользуемся формулой для косинуса третьей части угла:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \]

Подставим это значение:

\[ \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) \]

Теперь вернемся к исходному неравенству:

\[ \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) < 1 \]

Объединим слагаемые с косинусом:

\[ \frac{3}{2}\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) < 1 \]

Теперь приведем подобные члены:

\[ \sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) < 1 \]

Теперь выразим синус через косинус, воспользовавшись тригонометрическим тождеством \(\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}\):

\[ \sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)} < 1 \]

Теперь преобразим неравенство, избавившись от корней:

\[ \sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{3\cos^2\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) - 3} < 1 \]

Теперь упростим уравнение, умножив обе части на \(2\sqrt{3}\):

\[ 2\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) + 3\sqrt{3\cos^2\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) - 3} < 2\sqrt{3} \]

Теперь введем обозначение \(t = \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)\):

\[ 2t + 3\sqrt{3t^2 - 3} < 2\sqrt{3} \]

Теперь решим это уравнение. Сначала преобразуем его:

\[ 3\sqrt{3t^2 - 3} < 2\sqrt{3} - 2t \]

\[ 27t^2 - 27 < 12t^2 - 12\sqrt{3}t + 12 \]

\[ 15t^2 + 12\sqrt{3}t - 15 > 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение относительно \(t\):

\[ 5t^2 + 4\sqrt{3}t - 5 > 0 \]

Используем дискриминант, чтобы определить, когда это уравнение положительно:

\[ D = (4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 48 + 100 = 148 \]

Таким образом, дискриминант положителен, и уравнение имеет два корня:

\[ t_1, t_2 = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{148}}{10} \]

\[ t_1, t_2 = \frac{-2\sqrt{3} \pm 2\sqrt{37}}{5} \]

Таким образом, неравенство \(15t^2 + 12\sqrt{3}t - 15 > 0\) выполнено при:

\[ t \in \left(-\infty, \frac{-2\sqrt{3} - 2\sqrt{37}}{5}\right) \cup \left(\frac{-2\sqrt{3} + 2\sqrt{37}}{5}, +\infty\right) \]

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\):

\[ \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) \in \left(-\infty, \frac{-2\sqrt{3} - 2\sqrt{37}}{5}\right) \cup \left(\frac{-2\sqrt{3} + 2\sqrt{37}}{5}, +\infty\right) \]

Теперь решим это неравенство относитель