Question

Найти производную y=1/[1-1/(1+y2)]

Answer 1

У =       1        =        1        =   1+у²  =  1     +1  =  у⁻² + 1
       1 -   1           1+у²-1            у²        у²
             1+у²          1+у²

у' = (y⁻² +1)' = -2y⁻³ =  -2  
                                        y³

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции y=1/[1-1/(1+y^2)], нам понадобится использовать правило дифференцирования сложной функции.

Для начала, давайте разложим данную функцию на более простые элементы.

Для удобства, обозначим y^2 как u. Таким образом, функцию можно переписать в виде y=1/(1-1/(1+u)).

Заметим, что внутри скобок у нас функция f(u) = 1+u, а во внешней части y=1/(1-1/f(u)).

Теперь можем приступить к нахождению производной функции y по u. Для этого применим правило дифференцирования сложной функции:

dy/du = dy/df * df/du.

Найдем каждый из этих частных производных:

1) dy/df: дифференцируем y внутри скобок, поскольку она зависит от f(u). Получаем 1 функцю u.

2) df/du: дифференцируем функцию f(u) = 1+u, просто берем производную переменной u. В данном случае, f'(u) = 1.

Теперь можем выразить производную dy/du с помощью найденных частных производных:

dy/du = dy/df * df/du = 1 * 1 = 1.

То есть, производная функции y по переменной u равна 1.

Теперь, чтобы найти производную функции y по переменной x (dy/dx), нам необходимо учесть, что y зависит от x через переменную u (y=y(u)). Для этого воспользуемся правилом цепочки:

dy/dx = dy/du * du/dx.

Мы уже нашли частную производную dy/du, она равна 1. Найдем теперь du/dx.

Мы ввели переменную u = y^2, поэтому du/dx можно найти как производную y по x, умноженную на производную y^2 по y (поскольку y^2 зависит от y).

dy^2/dy = 2y (производная y^2 по y) и dy/dx (производная y по x).

Таким образом, du/dx = 2y * dy/dx.

Теперь у нас есть все необходимые выражения, чтобы найти производную dy/dx:

dy/dx = dy/du * du/dx = 1 * 2y * dy/dx = 2y * dy/dx.

Таким образом, производная y=1/[1-1/(1+y^2)] по x равна 2y * dy/dx.

Надеюсь, эта информация была полезной и подробной для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задайте.