Question

Найти площадь фигуры,ограниченной параболой y=x в квадрате и прямыми y=0, x=2 и x=3

Answer 1

$S = \int\limits^2_3 {(x^2 -0)} \, dx = \frac{x^3}{3}|_2^3 = \frac{27}{3}-\frac{8}{3} = \frac{19}{3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x в квадрате и прямыми y = 0, x = 2 и x = 3, нам необходимо найти точки пересечения этих графиков и построить геометрическую фигуру, ограниченную этими линиями.

Начнем с нахождения точек пересечения.

Уравнение параболы у = x Уравнение прямой y = 0 (ось x) Уравнение прямой x = 2 Уравнение прямой x = 3

Подставим уравнение параболы в уравнение прямой x = 2: x = 2 y = x y = 2 Таким образом, точка пересечения находится в (2, 2).

Подставим уравнение параболы в уравнение прямой x = 3: x = 3 y = x y = 3 Таким образом, точка пересечения находится в (3, 3).

Теперь мы можем построить график и найти площадь фигуры.

Фигура ограничена параболой, осью x, линиями x = 2 и x = 3. Она простирается от x = 2 до x = 3, и от y = 0 до y = x.

Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем разделить ее на две части - треугольник и сектор.

Треугольник: Основание треугольника равно (3 - 2) = 1 (разность между значениями x). Высота треугольника равна (3 - 0) = 3 (разность между значениями y). Площадь треугольника = (1 * 3) / 2 = 1.5

Сектор: Радиус сектора равен 3 (значение x). Угол сектора равен 45 градусам (так как прямоугольный треугольник в данной области имеет стороны длиной 3, 3 и √18, а радиус сектора является гипотенузой этого треугольника). Площадь сектора = (45 / 360) * π * (3^2) = 1.77 (округляется до двух десятичных знаков)

Площадь фигуры = площадь треугольника + площадь сектора = 1.5 + 1.77 = 3.27 (округляется до двух десятичных знаков).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой y = x в квадрате и прямыми y = 0, x = 2 и x = 3, составляет примерно 3.27 квадратных единиц.