Question

1. (2^x+1)-2^2-x=7 Показательное уравнение 2. (7*4^x)-(9*14^x)+2*49^x=0 Найти сумму корней уравнения

Answer 1

1. 2 * 2^x - 4*2^(-x) = 7;
2^x = t > 0;
 2 t  - 4/t = 7;
2 t^2 - 7t - 4 = 0;
D = 49 + 32 = 81 = 9^2;
t1 = (7+9) / 4 = 4; ⇒ 2^x = 4 ;   x = 2.
t2 =( 7-9) / 4 = - 1/2 < 0.нет решений
Ответ х = 2
2. 7*4^x - 9*14^x + 2*49^x = 0;     /:14^x >0;
7* 4^x / 14^x  - 9 * 14^x / 14^x  + 2 * 49^x / 14^x = 0;
7 * (2/7)^x - 9 + 2 * (7/2)^x = 0;
(2/7)^x = t;
((7/2)^x = 1/t;
 7 t  - 9 + 2/t = 0;
7 t^2 - 9 t + 2 = 0;
t1 = 1; ⇒ (7/2) ^x = 1;    x1 =0;
t2 = 2/7; ⇒ (7/2)^x = 2/7;   x2 = - 1.
x1 + x2 = 0 + (-1) = -1.
Ответ сумма корней равна минус 1 

Answer 2

Давайте решим каждое из заданных уравнений поочередно.

1. Уравнение (2^x + 1) - 2^(2 - x) = 7:

Для начала давайте преобразуем это уравнение:

(2^x + 1) - 2^(2 - x) = 7

Подставим 2^x вместо 2^(2 - x):

(2^x + 1) - (2^2 * 2^(-x)) = 7

Теперь упростим выражение:

2^x + 1 - 4 * 2^(-x) = 7

2^x - 4 * 2^(-x) = 6

Теперь давайте введем замену: t = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

t - 4/t = 6

Домножим обе стороны на t, чтобы избавиться от знаменателя:

t^2 - 4 = 6t

Переносим все члены в одну сторону:

t^2 - 6t - 4 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Давайте найдем его корни с помощью формулы:

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -6 и c = -4.

D = (-6)^2 - 4 * 1 * (-4) = 36 + 16 = 52

Теперь используем формулу корней квадратного уравнения:

t1,2 = (-b ± √D) / (2a)

t1 = (6 + √52) / 2 = (6 + 2√13) / 2 = 3 + √13

t2 = (6 - √52) / 2 = (6 - 2√13) / 2 = 3 - √13

Теперь мы нашли значения t, но нам нужно найти значения x. Для этого мы воспользуемся обратной заменой:

2^x = t

x = log2(t)

Теперь мы можем найти значения x:

x1 = log2(3 + √13)

x2 = log2(3 - √13)

2. Уравнение (7 * 4^x) - (9 * 14^x) + 2 * 49^x = 0:

Давайте преобразуем это уравнение:

7 * 4^x - 9 * 14^x + 2 * 49^x = 0

Теперь мы видим, что в этом уравнении присутствуют степени различных чисел. Это не линейное и не квадратное уравнение, и его решение может быть сложным. Для точного решения потребуется использовать численные методы или компьютерное программное обеспечение.

Теперь давайте найдем сумму корней уравнения (1):

Сумма корней квадратного уравнения S = -b / a, где a = 1 и b = -6.

S = -(-6) / 1 = 6

Таким образом, сумма корней уравнения (1) равна 6.

Для уравнения (2), сумму корней нельзя найти аналитически без численных методов или программного обеспечения, так как это нестандартное уравнение с экспоненциальными степенями разных чисел.