Question

Объясните, пожалуйста, как найти экстремум функции f(x)=x^2-48x

Answer 1

f(x)=x^2-48x
1) f '(x) = 2x-48 (находим производную функции)
2)  2x-48 = 0 (приравниваем к нулю и решаем уравнение)
    2х=48
    х=48/2
    х=24     
выводим полученное число на числовую прямую (смотреть прик.фото)
берем произвольные точки (те которые меньше и больше заданного числа /24/, проще говоря это число которые, стоят перед и после числа, я взяла 1 и 25. Теперь определяем знаки, подставляем в уравнение (2x-48 = 0 ) сначала 1 (2*1-48=2-48=-46) отрицательное число значит знак -, подставляем второе число (2*25-48=50-48=2) число положительное значит знак +.)

1. Если знаки переходят с + на -, то х max
2. Если знаки переходят с- на +, то х min 
3. Если знаки одинаковы + на + или - на -, то это точка перегиба

в нашем случае х min=24 (второй случай)

у min (это задается редко но можно найти,необходимо в место х поставить 24 в функцию ( f(x)=x^2-48x ), *кстати, не путайте уравнение и функцию, это важно*)

f(x)=24^2-48*24 = 576-1152=-576

Answer 2

Для нахождения экстремума функции \( f(x) = x^2 - 48x \) нужно выполнить несколько шагов. Экстремумы функции - это её локальные минимумы или максимумы. Эти точки можно найти, взяв производную функции и приравняв её к нулю.

1. Найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = 2x - 48 \]

2. Поставим производную равной нулю и решим уравнение:

\[ 2x - 48 = 0 \]

Решение этого уравнения даст нам \( x \) для точек, где производная равна нулю.

\[ 2x = 48 \]

\[ x = 24 \]

3. Найдем вторую производную, чтобы определить характер экстремума (минимум или максимум):

\[ f''(x) = 2 \]

Вторая производная положительная, что означает, что у нас есть минимум.

4. Подставим найденное значение \( x \) в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \( y \):

\[ f(24) = 24^2 - 48 \times 24 \]

Рассчитаем значение:

\[ f(24) = 576 - 1152 = -576 \]

Таким образом, экстремум функции \( f(x) = x^2 - 48x \) - это локальный минимум, который достигается при \( x = 24 \) и \( y = -576 \).