Question

Найти частные производные 2 порядка функции z= 3sinx + 7x⁴y³ - 2x+ 5e^y

Answer 1

Dz/dx = 3cos x + 28x^3y^3 - 2
dz/dy = 21x^4y^2 + 5e^y
d2z/dx^2 = -3sin x + 84x^2y^3
d2z/dy^2 = 42x^4y + 5e^y
d2z/dxdy = 84x^3y^2

Answer 2

Чтобы найти частные производные второго порядка функции z = 3sin(x) + 7x⁴y³ - 2x + 5e^y, мы должны сначала найти частные производные первого порядка, а затем продифференцировать их по каждой переменной еще раз.

Частные производные первого порядка:

Для начала найдем частные производные первого порядка функции z по переменным x и y.

- Частная производная по x: Для нахождения частной производной по x, мы дифференцируем каждый член функции по x, считая y постоянной: dz/dx = d(3sin(x))/dx + d(7x⁴y³)/dx - d(2x)/dx + d(5e^y)/dx

Упрощая каждый член: dz/dx = 3cos(x) + 28x³y³ - 2 + 0 (поскольку производная по x от константы равна нулю) или dz/dx = 3cos(x) + 28x³y³ - 2

- Частная производная по y: Для нахождения частной производной по y, мы дифференцируем каждый член функции по y, считая x постоянной: dz/dy = d(3sin(x))/dy + d(7x⁴y³)/dy - d(2x)/dy + d(5e^y)/dy

Упрощая каждый член: dz/dy = 0 + 21x⁴y² + 0 + 5e^y (поскольку производная по y от синуса равна нулю) или dz/dy = 21x⁴y² + 5e^y

Частные производные второго порядка:

Теперь найдем частные производные второго порядка, продифференцировав частные производные первого порядка по каждой переменной.

- Частная производная второго порядка по x: Для нахождения частной производной второго порядка по x, мы продифференцируем частную производную первого порядка по x: d²z/dx² = d(3cos(x))/dx + d(28x³y³)/dx - d(2)/dx + 0 (поск