Question

Укажите область определения функции y=4/√18x^2-3x-1

Answer 1

√18x^2-3x-1≠0
18x^2-3x-1>0
D=9+18*4=81
x₁=3+9/32=0,375
x₂=3-9/32=-0,1875
x>0,375
D(y)=(0,375;+∞)

Answer 2

Конечно, я помогу с этим. Функция \(y = \frac{4}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}\) содержит знаменатель с квадратным корнем. Чтобы определить область определения этой функции, нужно учесть условия, при которых знаменатель не обращается в ноль и функция остаётся действительной.

Квадратный корень должен быть неотрицательным числом, чтобы функция была определена. Значит, подкоренное выражение \(18x^2 - 3x - 1\) должно быть положительным.

Давай найдём область определения шаг за шагом:

1. Найдём значения \(x\), при которых знаменатель обращается в ноль (то есть когда \(\sqrt{18x^2 - 3x - 1} = 0\)):

\(\sqrt{18x^2 - 3x - 1} = 0\)

Квадратный корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю:

\(18x^2 - 3x - 1 = 0\)

2. Решим квадратное уравнение \(18x^2 - 3x - 1 = 0\). Можно воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где у нас уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

Для уравнения \(18x^2 - 3x - 1 = 0\) коэффициенты \(a = 18\), \(b = -3\), \(c = -1\):

\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-1)}}{2 \cdot 18}\] \[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{36}\] \[x = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{36}\] \[x = \frac{3 \pm 9}{36}\]

Таким образом, получаем два корня:

\[x_1 = \frac{3 + 9}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{3 - 9}{36} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6}\]

3. Теперь у нас есть корни \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = -\frac{1}{6}\). Эти значения \(x\) образуют точки, в которых функция имеет разрыв.

Теперь нам нужно понять, где функция определена, исключив эти точки разрыва. Поскольку функция содержит знаменатель с квадратным корнем, подкоренное выражение \(18x^2 - 3x - 1\) должно быть положительным числом.

4. Область определения функции \(y = \frac{4}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}\) будет соответствовать интервалам между корнями и вне корней, так как подкоренное выражение должно быть положительным. Таким образом, область определения будет:

\(-\frac{1}{6} < x < \frac{1}{3}\)

Таким образом, область определения функции \(y = \frac{4}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}\) - это все действительные значения \(x\), лежащие в интервале от \(-\frac{1}{6}\) до \(\frac{1}{3}\), исключая эти точки.