Question

Интеграл от1 до0 x / (4+x^2)

Answer 1

$\int_0^1 \frac{xdx}{4+x^2} = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{d(4+x^2)}{4+x^2} = \frac{1}{2} ln(4+x^2)|_0^1=\frac{1}{2} ln5-\frac{1}{2} ln4=\frac{1}{2} ln1,25.$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать метод частичных дробей. Давайте разложим дробь на простейшие дроби:

$$\frac{x}{4 + x^2}$$

Сначала найдем корни знаменателя уравнения $4 + x^2 = 0$. Решая это уравнение, получаем $x = \pm 2i$. Таким образом, знаменатель имеет два комплексных корня.

Для разложения на простейшие дроби, представим дробь в виде суммы двух дробей:

$$\frac{x}{4 + x^2} = \frac{A}{x - 2i} + \frac{B}{x + 2i}$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель и приведем к общему знаменателю:

$$x = A(x + 2i) + B(x - 2i)$$

Раскроем скобки и сгруппируем члены с $x$:

$$x = (A + B)x + (2iA - 2iB)$$

Сравним коэффициенты при $x$ и свободные члены:

$$1 = A + B$$ $$0 = 2iA - 2iB$$

Из второго уравнения видно, что $A = B$. Подставим это значение в первое уравнение:

$$1 = 2A$$

Таким образом, $A = \frac{1}{2}$ и $B = \frac{1}{2}$. Возвращаемся к исходному интегралу:

$$\int \frac{x}{4 + x^2} dx = \int \left(\frac{\frac{1}{2}}{x - 2i} + \frac{\frac{1}{2}}{x + 2i}\right) dx$$

Теперь можем интегрировать каждую простейшую дробь по отдельности:

$$\int \frac{\frac{1}{2}}{x - 2i} dx = \frac{1}{2} \ln|x - 2i| + C_1$$ $$\int \frac{\frac{1}{2}}{x + 2i} dx = \frac{1}{2} \ln|x + 2i| + C_2$$

Где $C_1$ и $C_2$ - постоянные интегрирования.

Таким образом, окончательное решение будет выглядеть как:

$$\int \frac{x}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln|x - 2i| + \frac{1}{2} \ln|x + 2i| + C$$

где $C = C_1 + C_2$ - общая постоянная интегрирования.

Теперь можем вычислить определенный интеграл от 1 до 0:

$$\int_0^1 \frac{x}{4 + x^2} dx = \left[\frac{1}{2} \ln|x - 2i| + \frac{1}{2} \ln|x + 2i|\right]_0^1$$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$$\left(\frac{1}{2} \ln|1 - 2i| + \frac{1}{2} \ln|1 + 2i|\right) - \left(\frac{1}{2} \ln|0 - 2i| + \frac{1}{2} \ln|0 + 2i|\right)$$

Поскольку $\ln(0 + 2i)$ и $\ln(0 - 2i)$ неопределены, мы можем проигнорировать их. Также заметим, что $\ln|1 - 2i| = \ln|1 + 2i|$ (комплексно-сопряженные числа имеют од