Question

Найдите сумму целых решений системы неравенства х²+6х-7≥0 (х+9)(3-х)>0

Answer 1

х²+6х-7≥0
x1+x2=-6 U x1*x2=-7⇒x1=-7 U x2=1
x≤-7 U x≥1
(x+9)(3-x)>0
x=-9  x=3
-9<x<3
x∈(-9;-7] U [1;3)
-8+(-7)+1+2=-12

Answer 2

Для нахождения суммы целых решений системы неравенств, нужно рассмотреть каждое неравенство по отдельности и определить множество целых чисел, удовлетворяющих каждому из них.

Сначала рассмотрим первое неравенство:

\[x^2 + 6x - 7 \geq 0.\]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации:

\[(x - 1)(x + 7) \geq 0.\]

Таким образом, уравнение имеет корни \(x = 1\) и \(x = -7\). Теперь разбиваем область значений \(x\) на три интервала:

1. \(x < -7\), 2. \(-7 \leq x \leq 1\), 3. \(x > 1\).

Подставим в каждый интервал произвольное значение и определим знак выражения \((x - 1)(x + 7)\) в каждом интервале:

1. При \(x < -7\): \((-)(-) = +\) (положительный). 2. При \(-7 \leq x \leq 1\): \((-)(+) = -\) (отрицательный). 3. При \(x > 1\): \((+)(+) = +\) (положительный).

Таким образом, уравнение \(x^2 + 6x - 7 \geq 0\) удовлетворяется в интервалах \([-7, 1] \cup [1, +\infty)\).

Теперь рассмотрим второе неравенство:

\[(x + 9)(3 - x) > 0.\]

Факторизуем его:

\[-(x + 9)(x - 3) > 0.\]

Корни уравнения: \(x = -9\) и \(x = 3\). Разбиваем область значений \(x\) на четыре интервала:

1. \(x < -9\), 2. \(-9 \leq x < 3\), 3. \(3 \leq x < +\infty\).

Подставим в каждый интервал произвольное значение и определим знак выражения \(-(x + 9)(x - 3)\) в каждом интервале:

1. При \(x < -9\): \((-)(-) = +\) (положительный). 2. При \(-9 \leq x < 3\): \((-)(+) = -\) (отрицательный). 3. При \(3 \leq x < +\infty\): \((+)(+) = +\) (положительный).

Таким образом, уравнение \((x + 9)(3 - x) > 0\) удовлетворяется в интервалах \((-\infty, -9) \cup (3, +\infty)\).

Теперь найдем пересечение интервалов, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Это интервал \([-7, 1]\), так как оно удовлетворяет и первому, и второму неравенствам.

Таким образом, сумма целых решений системы неравенств \(x^2 + 6x - 7 \geq 0\) и \((x + 9)(3 - x) > 0\) равна сумме целых чисел из интервала \([-7, 1]\).