Question

A)log₀,₅(x²-3x)= -2 b)log₂²(x-2) - log₂(x-2)=2 c)log₃(x²+2x)<1 d)log₁/₃(0,1x-5,2)>2

Answer 1

$a)$
$log_{0.5} ( x^{2} -3x)=-2$

ОДЗ:
$x^2-3x\ \textgreater \ 0$

$x(x-3)\ \textgreater \ 0$
 
    +              -                +
---------(0)----------(3)-------------
///////////                  ////////////////

$x$ ∈ $(-$ ∞ $;0)$ ∪ $(3;+$ ∞ $)$

$log_{0.5} ( x^{2} -3x)= log_{0.5} 0.5^{-2}$

$log_{0.5} ( x^{2} -3x)= log_{0.5} 4$

$x^{2} -3x= 4$

$x^{2} -3x-4=0$

$D=(-3)^2-4*1*(-4)=9+16=25=5^2$

$x_1= \frac{3+5}{2}=4$

$x_2= \frac{3-5}{2}=-1$

Ответ: $-1;$ $4$

$b)$
$log^2_{2} (x-2)- log_{2} (x-2)=2$

ОДЗ:

$x-2\ \textgreater \ 0$

$x\ \textgreater \ 2$

$log^2_{2} (x-2)- log_{2} (x-2)-2=0$

Замена:  $log_{2} (x-2)=t$

$t^2-t-2=0$

$D=(-1)^2-4*1*(2)=1+8=9$

$t_1= \frac{1+3}{2}=2$

$t_2= \frac{1-3}{2}=-1$

$log_{2} (x-2)=2$   или   $log_{2} (x-2)=-1$

$x-2=4$       или       $x-2=0.5$

$x=6$         или        $x=2.5$

Ответ:  $2,5;$  $6$
 
$c)$
$log_{3} ( x^{2} +2x)\ \textless \ 1$

ОДЗ:
$x^{2} +2x\ \textgreater \ 0$

$x(x+2)\ \textgreater \ 0$
 
    +              -                +
---------(-2)----------(0)-------------
///////////                  ////////////////

$x$ ∈ $(-$ ∞ $;-2)$ ∪ $(0;+$ ∞ $)$

$log_{3} ( x^{2} +2x)\ \textless \ log_{3}3$

$x^{2} +2x\ \textless \ 3$

$x^{2} +2x-3\ \textless \ 0$

$D=2^2-4*1*(-3)=4+12=16$

$x_1= \frac{-2+4}{2}=1$

$x_2= \frac{-2-4}{2}=-3$

     +                -                  +
----------(-3)-----------(1)--------------
               /////////////////

С учётом ОДЗ получаем

Ответ: $(-3;-2)$ ∪ $(0;1)$

$d)$
$log_{ \frac{1}{3} } (0.1x-5.2)\ \textgreater \ 2$

ОДЗ:
$0.1x-5.2\ \textgreater \ 0$

$0.1x\ \textgreater \ 5.2$

$x\ \textgreater \ 52$

$log_{ \frac{1}{3} } (0.1x-5.2)\ \textgreater \ log_{ \frac{1}{3} } \frac{1}9}$

$0.1x-5.2\ \textless \ \frac{1}9}$

$0.1x\ \textless \ \frac{1}9} +5 \frac{1}{5}$

$0.1x\ \textless \ \frac{5}{45} +5 \frac{9}{45}$

$0.1x\ \textless \ 5 \frac{14}{45}$

$\frac{1}{10} x\ \textless \ \frac{239}{45}$

$x\ \textless \ \frac{239}{45} *10$

$x\ \textless \ 53 \frac{1}{9}$

С учётом ОДЗ получаем

Ответ: $(52;53 \frac{1}{9})$

Answer 2

Давайте решим эти уравнения по одному.

Уравнение A: log₀,₅(x²-3x) = -2

Для начала, давайте перепишем это уравнение в эквивалентной форме:

x² - 3x = ₀,₅^(-2)

Теперь, давайте решим это уравнение:

x² - 3x = 4

x² - 3x - 4 = 0

Мы получили квадратное уравнение. Давайте решим его с помощью формулы квадратного уравнения:

x = (3 ± √(3² - 4*1*(-4))) / (2*1)

x = (3 ± √(9 + 16)) / 2

x = (3 ± √25) / 2

x = (3 ± 5) / 2

Таким образом, у нас есть два возможных значения для x:

x₁ = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4

x₂ = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1

Уравнение B: log₂²(x-2) + log₂(x-2) = 2

В данном уравнении мы имеем два логарифма с одинаковым основанием, поэтому мы можем объединить их в один логарифм:

log₂²(x-2) + log₂(x-2) = log₂²(x-2) * (x-2) = 2

Теперь давайте решим это уравнение:

log₂²(x-2) * (x-2) = 2

(x-2)² = 2

x² - 4x + 4 = 2

x² - 4x + 2 = 0

Так как у нас есть квадратное уравнение, мы можем использовать формулу квадратного уравнения для решения:

x = (4 ± √(4² - 4*1*2)) / (2*1)

x = (4 ± √(16 - 8)) / 2

x = (4 ± √8) / 2

x = (4 ± 2√2) / 2

Таким образом, у нас есть два возможных значения для x:

x₁ = (4 + 2√2) / 2 = 2 + √2

x₂ = (4 - 2√2) / 2 = 2 - √2

Уравнение C: log₃(x²+2x) < 1

Для начала, давайте перепишем это уравнение в эквивалентной форме:

x² + 2x = ₃^1

Теперь, давайте решим это уравнение:

x² + 2x = 3

x² + 2x - 3 = 0

Так как у нас есть квадратное уравнение, мы можем использовать формулу квадратного уравнения для решения:

x = (-2 ± √(2² - 4*1*(-3))) / (2*1)

x = (-2 ± √(4 + 12)) / 2

x = (-2 ± √16) / 2

x = (-2 ± 4) / 2

Таким образом, у нас есть два возможных значения для x:

x₁ = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (-2 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3

Уравнение D: log₁/₃(0,1x-5,2) > 2

Для начала, давайте перепишем это уравнение в эквивалентной форме:

0,1x - 5,2 > ₃²

Теперь, давайте решим это уравнение:

0,1x - 5,2 > 9

0,1x > 9 + 5,2

0,1x > 14,2

x > 14,2 / 0,1

x > 142

Таким образом, решением этого неравенства является x > 142.