Question

Доказать, что при любых a,b,c имеет корни уравнение:(х-а)(х-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0

Answer 1

Можно, например, использовать непрерывность функции
f(x) = (x−a)(x−b)+(x−a)(x−c)+(x−b)(x−c)
и исследовать её поведение.

а) при x→±∞: y→±∞
б) в силу симметрии функции относительно параметров a, b, c без ограничения общности можно считать, что a≤b≤c
f(x=a) = (a−b)(a−c)
f(x=b) = (b−a)(b−c)
f(x=c) = (c−a)(c−b)
б1) пусть сначала все числа a, b, c различны: a<b<c
f(x=a) > 0
f(x=b) < 0
f(x=c) > 0

Значит, f(x) меняет знак трижды и, следовательно, имеет как минимум три корня: на интервалах (−∞,a), (a,b), (b,c).

б2) если хотя бы два числа из тройки (a,b,c) совпадают, то хотя бы одно из чисел a, b, c будет корнем уравнения f(x)=0.

Утверждение доказано.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и докажем, что оно имеет корни для любых \(a, b, c\).

У нас есть уравнение:

\[(x-a)(x-b) + (x-a)(x-c) + (x-b)(x-c) = 0\]

Раскроем скобки:

\[ (x-a)(x-b) + (x-a)(x-c) + (x-b)(x-c) = x^2 - ax - bx + ab + x^2 - ax - cx + ac + x^2 - bx - cx + bc = 0 \]

Теперь объединим похожие члены:

\[ 3x^2 - 2ax - 2bx - 2cx + ab + ac + bc = 0 \]

Факторизуем по \(x\):

\[ x(3x - 2a - 2b - 2c) + ab + ac + bc = 0 \]

Теперь мы видим, что уравнение имеет корень при \(x = 0\) (второй член равен нулю). Также у нас есть линейный член, зависящий от \(x\), и константный член. Поскольку эти коэффициенты могут быть любыми (в том числе и равными нулю), у нас всегда есть значение \(x\), при котором уравнение равно нулю.

Таким образом, уравнение \((x-a)(x-b) + (x-a)(x-c) + (x-b)(x-c) = 0\) имеет корни для любых \(a, b, c\).