Question

Найдите область определения выражения f(x) выражение : корень из (t+4)(9+t)

Answer 1

Пусть f(t) = √(t + 4)(9 + t)
Подкоренное выражение - число неотрицательное.
На основе этого составляем и решаем неравенство:
(t + 4)(t + 9) ≥ 0
Нули: x = -9; -4.
|||||||||||||||||||||||||||                                  |||||||||||||||||||||||||||||||||||
------------------[-9]--------------------------[-4]----------------------> t
           +                          -                                +
Ответ: D(f) = (-∞; -9] U [-4; +∞). 

Answer 2

Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \sqrt{(t + 4)(9 + t)} \), нужно учесть, что под корнем должно быть неотрицательное значение, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.

Выражение под корнем \((t + 4)(9 + t)\) — произведение двух множителей. Чтобы это произведение было неотрицательным, необходимо, чтобы оба множителя имели одинаковый знак: либо оба положительны, либо оба отрицательны.

Рассмотрим оба случая:

1. Если \((t + 4) \geq 0\) и \((9 + t) \geq 0\), то оба множителя положительны. Решив неравенства, получим:

\[ \begin{align*} t + 4 &\geq 0 \\ t &\geq -4 \end{align*} \]

и

\[ \begin{align*} 9 + t &\geq 0 \\ t &\geq -9 \end{align*} \]

Итак, оба неравенства вместе дают нам \(t \geq -4\) (поскольку -4 больше, чем -9).

2. Если \((t + 4) \leq 0\) и \((9 + t) \leq 0\), то оба множителя отрицательны. Решив неравенства, получим:

\[ \begin{align*} t + 4 &\leq 0 \\ t &\leq -4 \end{align*} \]

и

\[ \begin{align*} 9 + t &\leq 0 \\ t &\leq -9 \end{align*} \]

Итак, оба неравенства вместе дают нам \(t \leq -9\) (поскольку -9 меньше, чем -4).

Итак, область определения функции \( f(x) = \sqrt{(t + 4)(9 + t)} \) — это множество всех действительных чисел \( t \), удовлетворяющих условиям \( t \geq -4 \) и \( t \leq -9 \). Таким образом, область определения — это интервал \((-9, -4]\).