Question

\log _{\frac{3}{2}} \left( {x^2 - 3x} \right) = 8

Answer 1

$\\\log _{\frac{3}{2}} ( {x^2 - 3x}) = 8\\ \left(\frac{3}{2}\right)^8=x^2-3x\\ \frac{6561}{256}=x^2-3x\\ x^2-3x-\frac{6561}{256}=0|\cdot 256\\ 256x^2-768-6561=0\\\\ \Delta=(-768)^2-4\cdot256\cdot(-6561)\\ \Delta=589824+6718464\\ \Delta=7308288\\ \sqrt\Delta=96\sqrt{793}\\ \\ x_1=\frac{-(-768)-96\sqrt{793}}{2\cdot256}\\ x_1=\frac{768-96\sqrt{793}}{512}\\ x_1=\frac{3}{16}(8-\sqrt{793})\\\\ x_2=\frac{-(-768)+96\sqrt{793}}{2\cdot256}\\ x_2=\frac{768+96\sqrt{793}}{512}\\ x_2=\frac{3}{16}(8+\sqrt{793})$

Answer 2

Давайте решим уравнение и найдем значения переменной x.

Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом:

\(\log_{\frac{3}{2}} \left( x^2 - 3x \right) = 8\)

Чтобы решить это уравнение, мы можем применить свойство логарифма, которое гласит: если \(\log_a b = c\), то это эквивалентно \(a^c = b\).

Таким образом, мы можем переписать уравнение в эквивалентной форме:

\(\left( \frac{3}{2} \right)^8 = x^2 - 3x\)

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого можно привести его к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = - \left( \frac{3}{2} \right)^8\).

Теперь, чтобы решить квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

В нашем случае:

\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left( - \left( \frac{3}{2} \right)^8 \right)\)

Рассчитаем значение \(D\):

\(D = 9 - 4 \cdot \left( - \left( \frac{3}{2} \right)^8 \right)\)

Теперь мы можем рассмотреть три случая:

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня. 2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень с кратностью два. 3. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: \(D > 0\)

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(D\) в формулу:

\(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{9 - 4 \cdot \left( - \left( \frac{3}{2} \right)^8 \right)}}{2 \cdot 1}\)

\(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{9 - 4 \cdot \left( - \left( \frac{3}{2} \right)^8 \right)}}{2 \cdot 1}\)

Случай 2: \(D = 0\)

Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень с кратностью два.

Формула для нахождения корня квадратного уравнения:

\(x = \frac{-b}{2a}\)

Подставим значения \(a\) и \(b\) в формулу:

\(x = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1}\)

Случай 3: \(D < 0\)

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней.

Таким образом, мы можем решить уравнение, найдя значения переменной x в каждом из трех случаев.