Question

Решите неравенство g`(x)<0 если : а)g(x)=x^3+x^4 б)g(x)=4/2-5x

Answer 1

$g`(x)<0\\g(x)=x^3+x^4\\g`(x)=3x^2+4x^3\\3x^2+4x^3<0\\4x^2(3/4+x)<0$
            -                                      +                                       +
_____________-3/4_____________0_______________________

Ответ: x∈(-∞;-3/4)

$g(x)= \frac{4}{2-5x}\\g`(x)= \frac{4`*(2-5x)-4(2-5x)`}{(2-5x)^2}= \frac{-4(-5)}{(2-5x)^2}= \frac{-20}{(2-5x)^2}\\\\ \frac{-20}{(2-5x)^2}<0$
Неравенство верно при любом значении х, т.к. знаменатель - всегда число положительное 

Ответ: х∈(-∞;+∞)

Answer 2

Для решения неравенств типа g'(x) < 0, мы должны найти значения x, при которых производная функции g(x) отрицательна.

Решение неравенства g(x) = x^3 + x^4:

Для начала, нам нужно найти производную функции g(x). По правилу дифференцирования степенной функции, мы можем найти производную функции g(x) путем дифференцирования каждого слагаемого функции по отдельности.

Для слагаемого x^3, производная будет равна 3x^2, а для слагаемого x^4, производная будет равна 4x^3. Таким образом, производная функции g(x) будет равна сумме производных слагаемых:

g'(x) = 3x^2 + 4x^3.

Теперь нам нужно найти значения x, при которых g'(x) < 0. Для этого мы можем решить неравенство:

3x^2 + 4x^3 < 0.

Мы можем факторизовать это неравенство следующим образом:

x^2(3 + 4x) < 0.

Затем мы можем рассмотреть каждый фактор отдельно и найти значения x, при которых каждый фактор меньше нуля.

Фактор x^2 < 0 будет верным только при x = 0, так как квадрат никогда не может быть отрицательным.

Фактор (3 + 4x) < 0 будет верным, когда:

3 + 4x < 0, 4x < -3, x < -3/4.

Таким образом, решением неравенства g'(x) < 0 для функции g(x) = x^3 + x^4 будет интервал (-∞, -3/4).

Решение неравенства g(x) = 4/2 - 5x:

Для этой функции, g(x) является линейной функцией вида g(x) = -5x + 4/2, что можно упростить до g(x) = -5x + 2.

Для нахождения производной g'(x), мы применяем правило дифференцирования линейных функций, которое гласит, что производная линейной функции равна коэффициенту при x. В данном случае, производная будет равна -5.

Теперь мы можем решить неравенство g'(x) < 0:

-5 < 0.

Это неравенство верно для всех значений x, так как -5 является отрицательным числом.

Таким образом, решением неравенства g'(x) < 0 для функции g(x) = 4/2 - 5x является весь диапазон вещественных чисел, (-∞, +∞).