Question

Как доказать что 5 в 6 степени - 2 в 12 степени кратно 9

Answer 1

$5^6-2^{12}=(5^3)^2-(2^6)^2=(5^3-2^6)(5^3+2^6)=\\=(125-64)(125+64)=61*189=61*21*9$

Итак, в результате тождественных преобразований получено произведение, один из множителей которого равен 9, следовательно и всё произведение кратно 9, т.е. и исходное выражение также кратно 9.
Что и требовалось доказать!

Answer 2

Для доказательства того, что число 5 в 6-й степени минус 2 в 12-й степени кратно 9, можно воспользоваться свойствами арифметики и модульной арифметики.

Начнем с того, что возведем число 5 в 6-ю степень: 5^6 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 15625.

Затем возведем число 2 в 12-ю степень: 2^12 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 4096.

Теперь вычтем из числа 5 в 6-й степени число 2 в 12-й степени: 15625 - 4096 = 11529.

Далее воспользуемся свойством модульной арифметики, согласно которому, если a ≡ b (mod n), то a - b кратно n.

Теперь проверим, делится ли число 11529 на 9: 11529 ≡ 0 (mod 9).

Так как 11529 делится на 9 без остатка, можно сделать вывод, что число 5 в 6-й степени минус 2 в 12-й степени кратно 9.