Question

Решите неравенство: -4(x-2)(x+6)>0

Answer 1

файл

------------------------------

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы можем использовать метод интервалов. Вначале найдем критические точки, где выражение в неравенстве обращается в ноль. Затем мы будем анализировать знак выражения в каждом интервале, образованном этими критическими точками.

Итак, данное неравенство:

\[ -4(x-2)(x+6) > 0 \]

1. Найдем критические точки:

Установим каждый множитель равным нулю и решим уравнения:

\[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] \[ x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6 \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = -6 \) и \( x = 2 \).

2. Составим интервалы:

Разделим числовую прямую на три интервала с использованием найденных критических точек: \((- \infty, -6)\), \((-6, 2)\), \((2, +\infty)\).

3. Анализируем знак выражения в каждом интервале:

- Интервал \((- \infty, -6)\): Подставим значение \(x = -7\) (любое число меньше -6) в выражение: \[ -4(-7 - 2)(-7 + 6) = -4(-9)(-1) = 36 > 0 \] Таким образом, выражение положительно на интервале \((- \infty, -6)\).

- Интервал \((-6, 2)\): Подставим значение \(x = 0\) (любое число между -6 и 2) в выражение: \[ -4(0 - 2)(0 + 6) = -4(-2)(6) = 48 > 0 \] Таким образом, выражение положительно на интервале \((-6, 2)\).

- Интервал \((2, +\infty)\): Подставим значение \(x = 3\) (любое число больше 2) в выражение: \[ -4(3 - 2)(3 + 6) = -4(1)(9) = -36 < 0 \] Таким образом, выражение отрицательно на интервале \((2, +\infty)\).

4. Составим окончательное решение:

Поскольку неравенство строго больше нуля (\(> 0\)), мы ищем интервалы, где выражение положительно. Из анализа видно, что это интервалы \((- \infty, -6)\) и \((-6, 2)\).

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -6) \cup (-6, 2) \]