Question

Найти наибольшее и наименьшее значение1) 2cos^2a - 12)|2 - 5cosa|

Answer 1

1)  у = 2cos²α - 1

Наибольшее значение cos²α = 1, поэтому у наиб = 2·1 - 1 = 1

Наименьшее значение cos²α = 0, поэтому у наим  = 2·0 - 1 = -1

 

2) y =|2 - 5cosα|

а) Пусть 2 - 5cosα ≥ 0, тогда 5cosα ≤ 2 и cosα ≤ 0,4

y = 2 - 5cosα

Наибольшее значение cosα = 0,4, поэтому у наим = 2 - 5·0,4 = 0

Поскольку наименьшее значение cosα = -1, то

у наиб  = 2 - 5·(-1) = 7

б) Пусть 2 - 5cosα ≤ 0, тогда 5cosα ≥ 2 и cosα ≥ 0,4

y = -2 + 5cosα

Наимеьшее значение cosα = 0,4, поэтому у наим = -2 + 5·0,4 = 0

Поскольку  наибольшее значение cosα = 1, то

у наиб  = -2 + 5·1 = 3

Сопоставляя случаи а) и б) видим, что  у наим = 0, у наиб = 7.

 

 

 

Answer 2

1) 0<=cos^2a<=1

0<=2cos^2a<=2

-1<=2cos^2a-1<=1

минимум = -1

максимум +1

2) 2-5cosa>=0

5cosa<=2  -1<=cosa<=0,4

2-5cosa максимум в точке сosa=-1 = 7

минимум в точке сosa=0,4 = 0

2-5cosa<0 1>=cosa>0,4

y=5cosa-2

максимум сosa=1 y(max)=3

минимум cosa=-1 y(min)=-7 не удовлетворяет ограничени.

минимум в точке сosa=0,4 равен 0

ответ минимум в точке cosa=0,4 равен 0

максимум в точке cosa=-1 равен 7

 

Answer 3

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения `2cos^2a - 12|2 - 5cosa|`, мы можем разбить задачу на две части: нахождение наибольшего и наименьшего значения первого слагаемого `2cos^2a - 12` и наибольшего и наименьшего значения второго слагаемого `|2 - 5cosa|`. Затем мы найдем наибольшее и наименьшее значение итогового выражения, используя эти значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения первого слагаемого `2cos^2a - 12`:

Выражение `2cos^2a - 12` представляет собой квадратичную функцию относительно переменной `a`. Квадратичная функция имеет форму `ax^2 + bx + c`, где `a`, `b` и `c` - коэффициенты. В данном случае `a = 2`, `b = 0` и `c = -12`.

Чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу `x = -b / (2a)` для нахождения значения `a`, при котором функция достигает экстремума. В данном случае `b = 0`, поэтому `x = 0`.

Таким образом, вершина параболы находится в точке `(0, -12)`. Это означает, что значение функции `2cos^2a - 12` достигает своего наименьшего значения `-12` при `a = 0`.

Наибольшее значение функции можно найти, вычислив значение функции при `a = 90°` или `a = π/2` (так как `cos(90°) = 0`). Подставляя `a = 90°` в выражение `2cos^2a - 12`, мы получаем `2(0)^2 - 12 = -12`. Таким образом, наибольшее значение функции равно `-12` при `a = 90°` или `a = π/2`.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения второго слагаемого `|2 - 5cosa|`:

Выражение `|2 - 5cosa|` представляет собой модуль от выражения `2 - 5cosa`. Модуль всегда возвращает неотрицательное значение, поэтому наименьшее значение равно `0`, когда `2 - 5cosa = 0`. Решая это уравнение, мы получаем `cosa = 2/5`, значит, `a = arccos(2/5)`.

Чтобы найти наибольшее значение, мы можем рассмотреть два случая: `2 - 5cosa > 0` и `2 - 5cosa < 0`.

- Когда `2 - 5cosa > 0`, модуль равен `2 - 5cosa`. Таким образом, наибольшее значение равно `2 - 5cosa` при `a = arccos(2/5)`. - Когда `2 - 5cosa < 0`, модуль равен `-(2 - 5cosa) = 5cosa - 2`. Таким образом, наибольшее значение равно `5cosa - 2` при `a = π - arccos(2/5)`.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения итогового выражения `2cos^2a - 12|2 - 5cosa|`:

Теперь, когда у нас есть наибольшие и наименьшие значения каждого слагаемого, мы можем найти наибольшее и наименьшее значение итогового выражения `2cos^2a - 12|2 - 5cosa|`.

- Наименьшее значение будет получено, когда оба слагаемых принимают свои наименьшие значения. Таким образом, наименьшее значение равно `-12 * 0 = 0`. - Наибольшее значение будет получено, когда первое слагаемое принимает наибольшее значение, а второе слагаемое принимает свое наибольшее значение. Таким образом, наибольшее значение равно `-12 * 2 = -24`.

Таким образом, наименьшее значение выражения `2cos^2a - 12|2 - 5cosa|` равно `0`, а наибольшее значение равно `-24`.