Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x+(1/x) на отрезке [0,5;3]. Помогите,пожалуйста.

Answer 1

Y=x+(1/x)
y ' =1 - (1/x²)

1 - (1/x²) =0
ОДЗ: x≠0

x² -1=0
(x-1)(x+1)=0
x=1
x= -1 ∉[0.5; 3]

y(0.5)=0.5 + (1/0.5)=0.5+2=2.5
y(1)=1+(1/1)=1+1=2 - наименьшее
y(3)=3 + (1/3)=3 ¹/₃ - наибольшее

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x + \frac{1}{x} \) на отрезке \([0.5, 3]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \( y = x + \frac{1}{x} \). 2. Решите уравнение \( y' = 0 \) для нахождения критических точек. 3. Определите значения \( y'' \) в найденных критических точках, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами. 4. Проверьте значения функции на концах отрезка.

Давайте начнем с первого шага. Функция \( y = x + \frac{1}{x} \), поэтому её производная:

\[ y' = 1 - \frac{1}{x^2} \]

Теперь найдем критические точки, приравняв \( y' \) к нулю:

\[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \]

Решая это уравнение, мы получаем:

\[ \frac{1}{x^2} = 1 \]

Отсюда \( x^2 = 1 \), что дает два возможных значения \( x \): \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Однако, поскольку отрезок задан от 0.5 до 3, мы рассматриваем только \( x = 1 \) в качестве критической точки.

Теперь найдем вторую производную \( y'' \):

\[ y'' = \frac{2}{x^3} \]

Подставим \( x = 1 \) в \( y'' \):

\[ y''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 \]

Таким образом, у нас есть критическая точка \( x = 1 \) и \( y''(1) = 2 \). Поскольку \( y''(1) > 0 \), это означает, что у нас есть минимум в точке \( x = 1 \).

Теперь проверим значения функции на концах отрезка \([0.5, 3]\). Подставим \( x = 0.5 \), \( x = 1 \) и \( x = 3 \) в функцию:

- \( y(0.5) = 0.5 + \frac{1}{0.5} = 0.5 + 2 = 2.5 \) - \( y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2 \) - \( y(3) = 3 + \frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{3} \approx 3.33 \)

Таким образом, минимальное значение функции на отрезке \([0.5, 3]\) равно 2 (достигается в точке \( x = 1 \)), а максимальное значение равно приблизительно 3.33 (достигается в точке \( x = 3 \)).