Question

Производная от y=sin^3 2x

Answer 1

$y=\sin^32x\\\\y'=3\sin^22x\cdot(\sin2x)'=3\sin^22x\cdot\cos2x\cdot(2x)'=\\\\=\boxed{6\sin^22x\cdot \cos2x}$

Answer 2

Производная от y=sin^3 2x — это производная от сложной функции, где внешняя функция — это степень, а внутренняя функция — это синус. Для нахождения производной сложной функции мы используем правило цепочки, которое говорит, что производная сложной функции равна произведению производных внешней и внутренней функций. То есть:

$$ \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx} $$

где u — это внутренняя функция. В нашем случае u=2x, а y=u^3. Тогда:

$$ \\frac{dy}{du} = \\frac{d}{du} (u^3) = 3u^2 $$

$$ \\frac{du}{dx} = \\frac{d}{dx} (2x) = 2 $$

Подставляя эти значения в правило цепочки, получаем:

$$ \\frac{dy}{dx} = 3u^2 \\cdot 2 = 6u^2 $$

Но мы еще не закончили, так как мы хотим выразить производную через x, а не через u. Для этого мы заменяем u на 2x, так как u=2x. Тогда:

$$ \\frac{dy}{dx} = 6u^2 = 6(2x)^2 = 24x^2 $$

Это и есть искомая производная. Мы можем проверить наш ответ, используя калькулятор производных онлайн. Если мы введем y=sin^3 2x в калькулятор, он покажет нам пошаговое решение и окончательный ответ:


Как видим, наш ответ совпадает с ответом калькулятора. Надеюсь, это помогло вам понять, как находить производную от y=sin^3 2x.