Question

Известно что функция y=F(x) - первообразная для функции y=(x^3-9х)*корень(x-2). Исследуйте функцию y=F(x ) на монотонность и экстремумы. Последняя надежда

Answer 1

Чтобы найти первообразную F(x), надо проинтегрировать заданную функцию.

  ∫(x³-9x)*√(x-2) *dx.Сделаем замену:  t²=x-2, x=t²+2, dx=2t dt. Тогда получим интеграл

  ∫[(t²+2)³-9(t²+2)] *2t² dt= 2 ∫[t⁶+6t⁴+12t²+8-9t²-18]*t²dt= 2 ∫[ t⁸+6t⁶+3t⁴-10t² ]*dt= 2[ t⁹/9+6t⁷/7+3t⁵/5-10t³/3] + C= 2/9*t⁹+12/7*t⁷+6/5*t⁵-20/3*t³ +C, где t=√(x-2).

 Для исследования  F(x) надо найти производную от неё F¹(x),приравнять нулю Но производная должна быть равна заданной функции у=(x³-9x)*√(x-2). Это по определению первообразной.

y¹=(3x²-9)*√(x-2)+(x³-9x)*1/ √(x-2)=1/√(x-2) *[2(3x²-9)(x-2)+x³-9x]=0

То, что в квадр. скобках - числитель, а в знаменателе - √(х-2).

х≠2, числитель 7x³-12x²-27x+36=0. Из этого уравнения найдете корни (подбором, 36 должно делиться на корни).Корни являются критическими точками, то есть точками, подозрительными на экстремум.

В этом примере  первообразная нужна, чтобы найти "у" экстремальных точек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Функция y = F(x) как первообразная

Известно, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = (x^3 - 9x) * sqrt(x - 2). Это означает, что производная функции F(x) равна данной функции.

Исследование функции y = F(x+) на монотонность и экстремумы

Для исследования монотонности и экстремумов функции y = F(x+), мы должны проанализировать производную этой функции. Если производная положительна на определенном интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на определенном интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале. Экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю или не существует.

Для начала, найдем производную функции y = F(x+). После этого, мы сможем проанализировать ее знаки и найти интервалы монотонности и экстремумы.

Нахождение производной функции y = F(x+)

Для нахождения производной функции y = F(x+), мы можем использовать правила дифференцирования. Применим правило производной произведения и правило производной корня.

Производная функции y = F(x+) будет равна:

y' = (x^3 - 9x) * sqrt(x - 2)' + sqrt(x - 2) * (x^3 - 9x)'

Анализ знаков производной и определение интервалов монотонности

После нахождения производной функции y = F(x+), мы можем проанализировать знаки производной и определить интервалы монотонности.

Анализ экстремумов

Также, чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти точки, где производная равна нулю или не существует.

Последняя надежда

Надеюсь, эта информация поможет вам исследовать функцию y = F(x+) на монотонность и экстремумы. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!