Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=корень х на отрезке [а:b]: [1:9] [5:25]

Answer 1

 у=√х,

x=1, y= 1 (min); x=9, y=3 (max).

x=5, y=√5 (min);  x=25, y=5 (max).

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt{x} \) на заданных отрезках [a:b], где a и b - указанные точки, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \( y = \sqrt{x} \). Производная функции \( y = \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

2. Решите уравнение \( \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \), чтобы найти критические точки.

3. Проверьте значения функции в найденных критических точках, а также на концах отрезка [a:b].

4. Наименьшее значение функции будет наименьшим из найденных значений, а наибольшее - наибольшим.

Давайте выполним эти шаги для обоих заданных отрезков:

Для отрезка [1:9]:

1. Производная функции \( y = \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

2. Решим уравнение \( \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \):

\( \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \)

Это уравнение не имеет решений, так как дробь не может быть равна нулю.

3. Проверим значения функции в концах отрезка [1:9]:

\( y(1) = \sqrt{1} = 1 \)

\( y(9) = \sqrt{9} = 3 \)

Значения на концах отрезка: \(1, 3\)

Таким образом, наименьшее значение - 1 (в точке x=1), а наибольшее - 3 (в точке x=9).

Для отрезка [5:25]:

1. Производная функции \( y = \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

2. Решим уравнение \( \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \):

\( \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \)

Это уравнение также не имеет решений.

3. Проверим значения функции в концах отрезка [5:25]:

\( y(5) = \sqrt{5} \approx 2.236 \)

\( y(25) = \sqrt{25} = 5 \)

Значения на концах отрезка: \(2.236, 5\)

Таким образом, наименьшее значение - примерно 2.236 (в точке x=5), а наибольшее - 5 (в точке x=25).

Итак, на отрезке [1:9] наименьшее значение функции - 1, а наибольшее - 3. На отрезке [5:25] наименьшее значение - примерно 2.236, а наибольшее - 5.