Question

Решите неравенства. МОЖНО ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ, ПОЖАЛУЙСТА!! а)7х^2-х+3 ≤ 0 б)2х^2+5х+10<0 в)х^2≥25х г)0,3х^2<0,6х

Answer 1

а)7х^2-х+3 ≤ 0 
7x2−x+3=0
Д= −83Ответ: корней нет, т.к. Д<0x∈∅
б)2х^2+5х+10<0 
2x2+5x+10=0
Д=−55Ответ: корней нет, т.к. Д<0Ответ: x∈∅
в)х^2≥25х
x2−25x=0х(x−25)=0
x1=0
x2=25
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:Ответ: x∈(−∞;0]∪[25;+∞)или  x≤0;x≥25
г)0,3х^2<0,6х
0.3x^2 -0.6x = 0
0.3x(x-2) =0
x1 = 0
x2 = 2
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:Ответ: x∈(0;2)или  0<x<2

Answer 2

Конечно, давайте решим данные неравенства по порядку.

а) \(7x^2 - x + 3 \leq 0\)

Для начала попробуем решить это квадратное неравенство. Мы можем использовать квадратное уравнение для поиска корней функции \(7x^2 - x + 3 = 0\), а затем определить интервалы, в которых данное неравенство будет выполняться.

Квадратное уравнение \(7x^2 - x + 3 = 0\) решается с использованием формулы дискриминанта:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 7\), \(b = -1\), \(c = 3\).

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 1 - 84 = -83\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Это означает, что график квадратного трехчлена \(7x^2 - x + 3\) не пересекает ось x, а значит, он либо полностью выше оси x, либо полностью ниже неё.

Для определения знаков этой функции найдём её вершину. Координаты вершины квадратной функции \(ax^2 + bx + c\) задаются формулами \(x = -\frac{b}{2a}\) и \(y = c - \frac{b^2}{4a}\).

\[x = -\frac{-1}{2 \cdot 7} = \frac{1}{14}\] \[y = 3 - \frac{(-1)^2}{4 \cdot 7} = 3 - \frac{1}{28} = \frac{83}{28}\]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный (\(7 > 0\)), график функции направлен вверх.

Теперь определим интервалы, где \(7x^2 - x + 3 \leq 0\). Поскольку вершина графика находится в точке \((\frac{1}{14}, \frac{83}{28})\), это означает, что вблизи этой точки график находится ниже оси x (поскольку \(y = \frac{83}{28}\) является максимумом функции). Таким образом, неравенство \(7x^2 - x + 3 \leq 0\) выполняется в некотором интервале около этой точки. Точный интервал можно получить путем поиска корней уравнения \(7x^2 - x + 3 = 0\), которые мы не найдем, так как дискриминант отрицательный.

б) \(2x^2 + 5x + 10 < 0\)

Также рассмотрим это квадратное неравенство. Мы можем использовать те же методы, чтобы решить его.

Сначала найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 + 5x + 10 = 0\):

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 10\).

\[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 25 - 80 = -55\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Это означает, что график функции \(2x^2 + 5x + 10\) либо полностью выше оси x, либо полностью ниже неё.

Чтобы определить знак функции, найдем её вершину:

\[x = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4}\] \[y = 10 - \frac{5^2}{4 \cdot 2} = 10 - \frac{25}{8} = \frac{55}{8}\]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный (\(2 > 0\)), график функции направлен вверх.

График этой функции находится выше оси x (так как вершина функции находится выше оси x на \(\frac{55}{8}\)), следовательно, неравенство \(2x^2 + 5x + 10 < 0\) не выполняется ни в каких действительных числах x.

в) \(x^2 \geq 25x\)

Это квадратное неравенство можно решить несколькими способами. Один из способов - привести его к виду, пригодному для решения:

\[x^2 - 25x \geq 0\]

Теперь мы можем попробовать найти значения x, для которых это неравенство выполняется.

Решим уравнение \(x^2 - 25x = 0\) и найдём его корни:

\[x(x - 25) = 0\]

Отсюда получаем, что \(x = 0\) или \(x = 25\).

Теперь давайте посмотрим, в каких интервалах это неравенство выполнено. Для этого разделим область на три части, используя точки \(x = 0\) и \(x = 25\). Мы можем выбрать по одному числу из каждого интервала и проверить, выполняется ли неравенство.

1. Если \(x < 0\), возьмем \(