Question

Решить неравенство: log2(x^2 - 3x + 2) ≤ log2(x-2) + 1

Answer 1

$log_2(x^2 - 3x + 2) \leq log_2(x-2) + 1$
ОДЗ:
$\left \{ {{ x^{2} -3x+2\ \textgreater \ 0} \atop {x-2\ \textgreater \ 0}} \right.$
$\left \{ {{ (x-2)(x-1)\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 2}} \right.$

------+-----(1)------- - --------(2)------+-------
//////////////                            //////////////////
----------------------------------(2)--------------
                                          ///////////////////
$x$ ∈ $(2;+$ ∞ $)$

$log_2(x^2 - 3x + 2) \leq log_2(x-2) + log_22$
$log_2(x^2 - 3x + 2) \leq log_2[2(x-2)]$
$x^2 - 3x + 2 \leq 2(x-2)$
$x^2 - 3x + 2 \leq 2x-4$
$x^2 - 3x + 2- 2x+4 \leq 0$
$x^2 - 5x + 6 \leq 0$
$D=(-5)^2-4*1*6=1$
$x_1= \frac{5+1}{2} =3$
$x_2= \frac{5-1}{2} =2$
$(x-2)(x-3) \leq 0$

-------+--------[2]----- - -----[3]-------+-------
                      //////////////////
-----------------(2)------------------------------
                        /////////////////////////////////

Ответ: $(2;3]$

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами, мы должны использовать свойства логарифмов и алгебраические методы для переноса всех логарифмов на одну сторону и выражения с x на другую.

Давайте начнем с переноса логарифмов на одну сторону. Используя свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b), мы можем переписать неравенство следующим образом:

log2(x^2 + 3x + 2) - log2(x - 2) ≤ 1

Теперь, используя еще одно свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b), мы можем объединить логарифмы:

log2((x^2 + 3x + 2)/(x - 2)) ≤ 1

Теперь нам нужно избавиться от логарифма. Мы можем сделать это, возведя обе стороны неравенства в степень 2 (так как мы имеем дело с логарифмом по основанию 2):

((x^2 + 3x + 2)/(x - 2)) ≤ 2^1

((x^2 + 3x + 2)/(x - 2)) ≤ 2

Теперь нам нужно решить это уравнение. Мы можем начать с умножения обеих сторон на (x - 2) (помните, что мы должны учитывать знак при умножении неравенства на отрицательное число):

(x^2 + 3x + 2) ≤ 2(x - 2)

Раскроем скобки:

x^2 + 3x + 2 ≤ 2x - 4

Теперь приведем подобные слагаемые:

x^2 + 3x - 2x + 2 + 4 ≤ 0

x^2 + x + 6 ≤ 0

Теперь нам нужно решить это квадратное неравенство. Мы можем использовать методы графической интерпретации или применить квадратный трехчлен.

Чтобы решить квадратное неравенство, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдите вершину параболы, заданной уравнением x^2 + x + 6 = 0. 2. Определите направление открытия параболы. 3. Определите интервалы, где парабола находится ниже нуля.

Давайте найдем вершину параболы. Уравнение x^2 + x + 6 = 0 не имеет рациональных корней, поэтому мы можем использовать формулу для нахождения координат вершины:

x = -b/2a

В нашем случае a = 1, b = 1, поэтому:

x = -1/2(1) = -1/2

Теперь мы можем определить направление открытия параболы. Поскольку коэффициент при x^2 положительный (1 > 0), парабола открывается вверх.

Теперь давайте определим интервалы, где парабола находится ниже нуля. Мы можем использовать вершину параболы и направление открытия, чтобы понять, где парабола находится ниже нуля.

Поскольку парабола открывается вверх и вершина находится в точке (-1/2, f(-1/2)), где f(-1/2) - это значение параболы в этой точке, мы можем сделать вывод, что парабола находится ниже нуля на интервале (-∞, -1/2) и (1/2, +∞).

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал (-∞, -1/2) объединенный с интервалом (1/2, +∞).