Question

В арифметической прогрессии сумма первого и шестого членов равна 11 , а сумма второго и четвертого членов равна 10 . Найти сумму шести членов этой прогрессии.

Answer 1

{a1+ a6=11    a2+a4=10
Выразим а2, а4 , а6 через первый член арифметической прогрессии и разность прогрессии (d)
a2=a1+d        a4=a1+3d        a6=a1+5d и подставим в систему:
{a1+a1+5d=11        a1+d+a1+3d=10
{2a1+5d=11              2a1+4d=10
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на (-1)  и сложим со вторым:
{-2a1-5d=-11    +    2a1+4d=10
-d=-1
d=1
2a1+4=10
a1=3 (подставили найденное значение d во второе уравнение системы и нашли первый член прогрессии.)
По формуле суммы n-первых членов прогрессии найдём сумму первых шести членов этой прогрессии:
S6=(2·3+5 )\2·6=33      (Sn=(2a1+d(n-1))\2·n)
ответ:33  

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулы для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

В данной задаче известно, что сумма первого и шестого членов прогрессии равна 11, а сумма второго и четвертого членов равна 10. Обозначим первый член прогрессии через a, а разность между членами прогрессии через d.

Используя формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии, получим следующую систему уравнений:

a + (a + 5d) = 11 -- (1) (a + d) + (a + 3d) = 10 -- (2)

Разрешим эту систему уравнений. Возьмем уравнение (1) и выразим a через d:

2a + 5d = 11 -- (3) 2a = 11 - 5d a = (11 - 5d) / 2 -- (4)

Подставим выражение для a из уравнения (4) в уравнение (2) и решим полученное уравнение относительно d:

((11 - 5d) / 2 + d) + ((11 - 5d) / 2 + 3d) = 10 (11 - 5d + 2d) + (11 - 5d + 6d) = 20 22 - 8d = 20 -8d = 20 - 22 -8d = -2 d = -2 / -8 d = 1/4

Теперь, зная значение d, можем найти значение a:

a = (11 - 5d) / 2 a = (11 - 5 * 1/4) / 2 a = (11 - 5/4) / 2 a = (44 - 5) / 8 a = 39 / 8 a = 4 7/8

Теперь, чтобы найти сумму шести членов этой прогрессии, воспользуемся формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (n/2) * (2a + (n-1)d),

где S_n - сумма n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, d - разность между членами прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Подставим известные значения в формулу:

n = 6 a = 4 7/8 = 39/8 d = 1/4

S_6 = (6/2) * (2 * (39/8) + (6-1) * (1/4)) S_6 = 3 * (78/8 + 5/4) S_6 = 3 * (78/8 + 10/8) S_6 = 3 * (88/8) S_6 = 3 * (11/1) S_6 = 33

Таким образом, сумма шести членов этой прогрессии равна 33.